Klamkinの不等式

全て左辺に移項して $x$ について平方完成すると，

$$\{x+(-1)^n(y\cos nC+z\cos nB)\}^2 +y^2\sin^2nC+z^2\sin^2nB\\ +2(-1)^nyz\cos nA-2yz\cos nC\cos nB\geq 0$$

となる。あとは二行目と三行目の和が非負であることを示せばよい。

• $n$ が奇数のとき， $$\begin{aligned} \cos nA &=-\cos(nB+nC)\\ &=-\cos nB\cos nC+\sin nB\sin nC \end{aligned}$$ となる。

• $n$ が偶数のとき，
  $$\begin{aligned} \cos nA &=\cos(nB+nC)\\ &=\cos nB\cos nC-\sin nB\sin nC \end{aligned}$$

に注意すると，上式の下二行はいずれの場合も $(y\sin nC-z\sin nB)^2$ となるのでOK。

等号成立条件は， $y\sin nC=z\sin nB$ かつ $x+(-1)^n(y\cos nC+z\cos nB)=0$

ここで，$\sin nB\neq 0$ のときは二つ目は以下と同値である。

$$x\sin nB=(-1)^{n+1} (y\sin nB\cos nC+z\sin nB\cos nB)$$

これに一つめの条件と加法定理を使うと，

$$x\sin nB=(-1)^{n+1}y\sin (nB+nC)=y\sin nA$$ を得る。