等号成立条件の確認が必要な場合・不要な場合

以下のような不等式の証明問題では，等号成立条件を確認する必要はありません。

• 等号成立条件は「$x-\dfrac{1}{x}=0$ の場合」つまり「$x=1$ の場合」とわかります。
• ですが，問題では等号が成立する場合について問われていないので，等号成立条件を書く必要はありません。
• 等号成立条件を書いてもよいですが，「等号成立条件を書かないと減点」というのはおかしいです。
• もちろん，問題文に「等号が成立するのはどのようなときか？」など書かれている場合は確認が必要です。

以下のような「不等式を使って関数の最大値・最小値を求める問題」では等号成立条件の確認が必要です。

• 「2以上」だけでは「最小値が2」とは言えません。
• 「2以上」と「2になる場合がある」の両方がわかってはじめて「最小値が2」と言えます。
• そして「2になる場合がある」を主張するために等号成立条件の確認が必要です。

以下のように「等号が成立する場合は無いが正しい不等式」もあります。

• $x+\dfrac{1}{x}\geq -10000\:(x>0)$
• $2\geq 1$
• $x^2\geq -1$

$\geq$ は「等しいまたは大きい」という意味であり，等しい場合が無くてもよいわけです。

等号が成立する場合がないので，「ギリギリを攻めていない弱い不等式」と言えますが，不等式としては完全に正しいです。

等号成立条件は「複数の変数の値が同じ場合」ということが多いです。特に多変数の対称な不等式ではこのパターンが多いです。例えば，

• $a+b\geq 2\sqrt{ab}\:(a,b>0)$ の等号成立条件は $a=b$
  →相加相乗平均の不等式：意味：例題：おもしろい証明
• $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ の等号成立条件は $a=b=c$
  →有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明
• 周の長さが一定である長方形の中で，面積が最大のものは正方形。
  →等周問題に関連する高校数学の問題

また，マクローリン展開・テイラー展開が背景にある不等式では，展開する点において等号が成立します。例えば，

• $\log x\leq x-1\:(x>0)$ の等号成立条件は $x=1$
  →有名不等式logx≦x-1の証明と入試問題
• $\sin x\leq x\:(x\geq 0)$ の等号成立条件は $x=0$

他にも，比が一定のとき等号成立というパターンもあります。例えば，

• コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明
• Klamkinの不等式

※これらのパターンを覚える必要は無いです。