Cauchy Reverse Technique

相加相乗平均の不等式より，

$$\begin{aligned} \dfrac{x^3}{x^2+y^2}&=x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\\ &\geqq x-\dfrac{xy^2}{2xy}\\ &=x-\dfrac{y}{2} \end{aligned}$$

同様な式を3つ作って足し合わせると目標の不等式を得る。

$$\begin{aligned} \dfrac{a}{1+b^2} &=\dfrac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}\\ &=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\\ &\geqq a-\dfrac{ab}{2} \end{aligned}$$

よって，同様な式を3つ足し合わせると $(\text{左辺}) \geqq 3-\dfrac{1}{2} (ab+bc+ca)$ となる。これが $\dfrac{3}{2}$ より大きいことを示す。つまり，$ab+bc+ca\leqq 3$ を示せば良い。

$a+b+c=3$ を用いて斉次式化すると， $$ab+bc+ca\leqq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$$ これは展開して整理すると有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caとなる。