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接平面の方程式の求め方

更新日時 2021/03/07
公式1

曲面 f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) における接平面の方程式は,

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

ただし,A=fx(x0,y0,z0)A=f_x(x_0,y_0,z_0)B=fy(x0,y0,z0)B=f_y(x_0,y_0,z_0)C=fz(x0,y0,z0)C=f_z(x_0,y_0,z_0)

公式2

曲面 z=f(x,y)z=f(x,y)(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) における接平面の方程式は,

z=A(xx0)+B(yy0)+z0z=A(x-x_0)+B(y-y_0)+z_0

ただし,A=fx(x0,y0)A=f_x(x_0,y_0)B=fy(x0,y0)B=f_y(x_0,y_0)

ただし,fx,fy,fzf_x,f_y,f_z偏微分を表します。

目次
  • 具体例

  • 公式1の導出

  • 公式2の導出

具体例

公式2を使う例題です(公式1も使い方はほとんど同じです)。

例題

曲面 z=x2+y2z=x^2+y^2(1,2,5)(1,2,5) における接平面の方程式を求めよ。

解答

xx で偏微分すると,fx=2xf_x=2x

yy で偏微分すると,fy=2yf_y=2y

(x,y)=(1,2)(x,y)=(1,2) のとき,fx=2f_x=2fy=4f_y=4

よって,求める接平面の方程式は,

z=2(x1)+4(y2)+5z=2(x-1)+4(y-2)+5

公式1の導出

導出

表記簡略化のために A=fx(x0,y0,z0)A=f_x(x_0,y_0,z_0)B=fy(x0,y0,z0)B=f_y(x_0,y_0,z_0)C=fz(x0,y0,z0)C=f_z(x_0,y_0,z_0) とおく。

曲面 f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0) における法線ベクトルは,(A,B,C)(A,B,C) である。

(理由:二次元の場合は法線ベクトルの求め方と応用の記事末参照。三次元の場合も同様。)

よって,

Q(x,y,z)Q(x,y,z) が求める接平面上にある⇔

PQundefined\overrightarrow{PQ} と法線ベクトル (A,B,C)(A,B,C) が垂直⇔

A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

となる。

公式2の導出

g(x,y,z)=f(x,y)zg(x,y,z)=f(x,y)-z に公式1を適用すれば直ちに公式2を得ることができます。つまり,公式1は公式2よりも一般的なものです。

ただし,公式2については別の方法で理解することもできるので,紹介します。

別の理解

(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) の近くでは,

xx が微小量 Δx\Delta x だけ増えると zz はおよそ AΔxA\Delta x 増える。

yy が微小量 Δy\Delta y だけ増えると zz はおよそ BΔyB\Delta y 増える。

よって,(x0,y0)(x0+Δx,y0+Δy)(x_0,y_0)\to (x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) に変化させると,関数の値は

zz0+AΔx+BΔyz\fallingdotseq z_0+A\Delta x+B\Delta y

となる。

ここで,(きちんとした主張ではないが)(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) の近傍ではもとの関数は接平面とほぼ一致するだろうと考えると,接平面の方程式は

z=z0+A(xx0)+B(yy0)z=z_0+A(x-x_0)+B(y-y_0)

となる。

本当は接平面を求める公式というより,接平面の定義と言った方が正確かもしれません。

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