接平面の方程式の求め方

$x$ で偏微分すると，$f_x=2x$

$y$ で偏微分すると，$f_y=2y$

$(x,y)=(1,2)$ のとき，$f_x=2$，$f_y=4$

よって，求める接平面の方程式は，

$z=2(x-1)+4(y-2)+5$

表記簡略化のために $A=f_x(x_0,y_0,z_0)$，$B=f_y(x_0,y_0,z_0)$，$C=f_z(x_0,y_0,z_0)$ とおく。

曲面 $f(x,y,z)=0$ の $P(x_0,y_0,z_0)$ における法線ベクトルは，$(A,B,C)$ である。

（理由：二次元の場合は法線ベクトルの3通りの求め方と応用の記事後半参照。三次元の場合も同様。）

よって，

$Q(x,y,z)$ が求める接平面上にある⇔

$\overrightarrow{PQ}$ と法線ベクトル $(A,B,C)$ が垂直⇔

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

となる。

点 $(x_0,y_0,z_0)$ の近くでは，

$x$ が微小量 $\Delta x$ だけ増えると $z$ はおよそ $A\Delta x$ 増える。

$y$ が微小量 $\Delta y$ だけ増えると $z$ はおよそ $B\Delta y$ 増える。

よって，$(x_0,y_0)\to (x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ に変化させると，関数の値は

$z\fallingdotseq z_0+A\Delta x+B\Delta y$

となる。

ここで，（きちんとした主張ではないが）$(x_0,y_0,z_0)$ の近傍ではもとの関数は接平面とほぼ一致するだろうと考えると，接平面の方程式は

$z=z_0+A(x-x_0)+B(y-y_0)$

となる。