レムニスケート曲線とその性質

極形式の辺々に $r^2$ を掛けると， $$\begin{aligned} (\text{左辺}) &= r^4 \\ &= (x^2+y^2)^2\\ (\text{右辺}) &= a^2r^2 \cos 2\theta \\ &= a^2r^2 \cos^2 \theta - a^2r^2 \sin^2 \theta\\ &= a^2(x^2-y^2) \end{aligned}$$ である。

レムニスケートは原点対称であるため，第1象限の部分の面積を $4$ 倍すればよい。。

$$\begin{aligned} S &= 4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{2} r^2 d\theta\\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} a^2 \cos 2\theta \ d \theta\\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{2} a^2 \Big[ \dfrac{1}{2} \sin 2 \theta \Big]_0^{\frac{\pi}{4}}\\ &= a^2 \end{aligned}$$

よって，$S = a^2$ である。

$(X,Y)$ をレムニスケート上の点とする。

$\left( \dfrac{a}{\sqrt{2}}, 0 \right),\left( -\dfrac{a}{\sqrt{2}} , 0 \right)$ からの距離の2乗はそれぞれ $$\begin{aligned} &\left( X - \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right)^2 + Y^2\\ &= X^2+Y^2 + \dfrac{a^2}{2} - \sqrt{2} aX\\ &\left( X + \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right)^2 + Y^2\\ &= X^2+Y^2 + \dfrac{a^2}{2} + \sqrt{2} aX \end{aligned}$$ である。それらの積を計算すると $$\begin{aligned} &\left( X^2+Y^2 + \dfrac{a^2}{2} \right)^2 - 2a^2 X^2\\ &= (X^2+Y^2)^2 + a^2 (X^2+Y^2) + \dfrac{a^4}{4} - 2a^2 X^2 \\ &= (X^2+Y^2)^2 - a^2 (X^2-Y^2) + \dfrac{a^4}{4} \end{aligned}$$ である。

$(X,Y)$ はレムニスケート上の点であるため， $$(X^2+Y^2)^2 - a^2 (X^2-Y^2) = 0$$ を満たす。

よって，2点からの距離の積は一定値 $\sqrt{\dfrac{a^4}{4}} = \dfrac{a^2}{2}$ である。