シッソイド（疾走線）

$\mathrm{N} (a,a \tan \theta) \; \left( -\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right)$ と取る。

このとき $\mathrm{K} \left( \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2} \cos 2\theta , \dfrac{a}{2} \sin 2\theta \right)$ となります。

条件より $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \overrightarrow{\mathrm{KN}}$ である。

よって，$\mathrm{Q} (x,y)$ とすると $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{2} \cos 2\theta\\ a \tan \theta - \dfrac{a}{2} \sin 2\theta \end{pmatrix}$$ となる。

$$\begin{aligned} x &= \dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{2} \cos 2\theta\\ &= \dfrac{a}{2} - \dfrac{a}{2} (1-2\sin^2 \theta)\\ &= a\sin^2 \theta \end{aligned}$$ と計算される。

よって $\sin^2 \theta = \dfrac{x}{a}$ となる。

また $$\begin{aligned} y &= a \tan \theta - \dfrac{a}{2} \sin 2\theta\\ &= \dfrac{a\sin \theta}{\cos \theta} - a \sin \theta \cos \theta\\ &= a\sin \theta \dfrac{1-\cos^2\theta}{\cos \theta}\\ &= \dfrac{a \sin^3 \theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}}\\ &= x \sqrt{\dfrac{x}{a}} \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x}{a}}}\\ &= x \sqrt{\dfrac{x}{a-x}} \end{aligned}$$ となる。

辺々2乗して整理すると $$x^3 + (x-a) y^2 = 0$$ を得る。

$a = 1$ としたシッソイド $x^3 + (x-1) y^2 = 0$ と，直線 $x + 2y = 1$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。

$2y = 1-x$ となることから $x^3 - 2y^3=0$ を得る。こうして $\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ を得る。

このことから直線 $\mathrm{OP}$ の傾きは $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ である。

直線 $\mathrm{OP}$ と直線 $y=1$ の交点の $x$ 座標は $\sqrt[3]{2}$ である。