パスカルの蝸牛形(リマソン)

更新日時 2022/11/16
定理

パスカルの蝸牛形(蝸牛線・リマソン・limaçon of Pascal)とは (x2+y2ax)2b2(x2+y2)=0 (x^2 + y^2 - ax)^2 - b^2 (x^2 + y^2) = 0 と表される曲線である。

グラフは次のようになります。

limacon01

特に,a=ba = b のとき,カージオイド となります。

目次
  • 極座標表示

  • 媒介変数表示

極座標表示

極座標表示すると r=acosθ+br = a \cos \theta + b となります。

これは コンコイド の一種です。

計算

r=x2+y2r = \sqrt{x^2+y^2}cosθ=xx2+y2\cos\theta = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} を代入する。

x2+y2=axx2+y2+bx2+y2ax=bx2+y2 \sqrt{x^2+y^2} = \dfrac{ax}{\sqrt{x^2+y^2}} + b\\ x^2 + y^2 - ax = b \sqrt{x^2 + y^2}

両辺二乗して (x2+y2ax)2=b2(x2+y2) (x^2 + y^2 - ax)^2 = b^2 (x^2 + y^2)

媒介変数表示

媒介変数表示は {x=acos2θ+bcosθy=acosθsinθ+bsinθ \begin{cases} x = a \cos^2 \theta + b \cos \theta\\ y = a \cos \theta \sin \theta + b \sin \theta \end{cases} となります。

計算

極座標表示から計算する。

x=rcosθ,y=rsinθx = r \cos \theta , y = r \sin \theta である。

r=acosθ+br = a \cos \theta + b を代入することで {x=acos2θ+bcosθy=acosθsinθ+bsinθ \begin{cases} x = a \cos^2 \theta + b \cos \theta\\ y = a \cos \theta \sin \theta + b \sin \theta \end{cases} が得られる。

蝸牛とは,カタツムリのことを意味します。