レムニスケート周率とレムニスケート関数

更新 2025/05/29

定義

レムニスケートの周長の長さと $2a$ の比をレムニスケート周率といって $\varpi$ で表す。

$\varpi = 2\int_0^1 \dfrac{dr}{\sqrt{1-r^4}}$ と表される。

この記事ではレムニスケート周率とレムニスケート関数について解説します。

レムニスケート

レムニスケート曲線とは，極方程式 r2=a2cos⁡2θr^2 = a^2\cos 2\thetar2=a2cos2θ もしくは直交座標の方程式 (x2+y2)2=a2(x2−y2)(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)(x2+y2)2=a2(x2−y2) で表される曲線です。
基本的な性質は レムニスケート曲線とその性質 をご覧ください。

レムニスケート周率

円周率のレムニスケート版を考えます。

定義

レムニスケートの周長の長さと $2a$ の比をレムニスケート周率といって $\varpi$ で表す。

$\varpi = 2\int_0^1 \dfrac{dr}{\sqrt{1-r^4}}$ と表される。

詳しい証明は算術幾何平均とレムニスケートの長さをご覧ください。

レムニスケート周率は $2.62205 \cdots$ と続きます。

円周率との関係

円周率とレムニスケート周率の比は具体的に計算することができます。

定理

$M(1.\sqrt{2}) = \dfrac{\pi}{\varpi}$ ただし， $M(a.b)$ は $a,b$ の算術幾何平均である。

詳しい計算は，算術幾何平均とレムニスケートの長さをどうぞ。

数論との関連

レムニスケート周率は，整数論で登場することがあります。以下の定理は証明しません。興味がある人は解析的整数論やゼータ関数について勉強してみてください。

定理

$\sum_{\substack{m,n=-\infty\\ (m,n) \neq (0,0)}}^{\infty} \dfrac{1}{(m+ni)^4} = \dfrac{\varpi^4}{15}$

レムニスケート関数

定義

定理

レムニスケート関数 $\mathrm{sl} \ x$ を $\int_{0}^y \dfrac{dr}{\sqrt{1-r^4}}$ の逆関数と定義する。

$\mathrm{cl} \ x$ を $\int_{y}^1 \dfrac{dr}{\sqrt{1-r^4}}$ の逆関数と定義する。

レムニスケート関数は三角関数の類似型です。実際， $\arcsin$ は $\arcsin y = \int_0^y \dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ と表現することができることを思い出しましょう。→ 逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

arcsin といった記法にならって $\mathrm{arcsl} \ y = \int_0^y \dfrac{dr}{\sqrt{1-r^4}}\\ \mathrm{arccl} \ y = \int_y^1 \dfrac{dr}{\sqrt{1-r^4}}$ と表記します。

性質

レムニスケート関数には三角関数と似た関係式があります。

次の性質は逆関数の積分の形から従います。

性質1

レムニスケート関数は， $2\varpi$ を周期とする関数である。

性質2

$\mathrm{sl} \ 0 = 0, \ \mathrm{sl} \ \dfrac{\varpi}{2} = 1, \ \mathrm{sl} \ \varpi = 0\\ \mathrm{cl} \ 0 = 1 , \ \mathrm{cl} \ \dfrac{\varpi}{2} = 0 , \ \mathrm{cl} \ \varpi = -1$

次の性質もまた積分を用いますが，少々計算が大変です。 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ の類似と思ってください。

性質3

$\mathrm{sl} \ x + \mathrm{cl} \ x + \mathrm{sl} \ x \ \mathrm{cl} \ x = 1$

証明

$s = \sqrt{\dfrac{1-r^2}{1+r^2}}$ とおくと $\begin{align*} ds &= \dfrac{-\dfrac{r}{\sqrt{1-r^2}} \sqrt{1+r^2} - \dfrac{r}{\sqrt{1+r^2}} \sqrt{1-r^2}}{1+r^2} dr\\ &= -\dfrac{2r^2}{\sqrt{1-r^4} (1+r^2)} dr \end{align*}$ である。さて， $\begin{align*} 1-s^4 &= 1-\dfrac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2}\\ &= \dfrac{2r^2}{(1+r^2)^2} \end{align*}$ を用いると， $\dfrac{dr}{\sqrt{1-r^4}} = - \dfrac{ds}{\sqrt{1-s^4}}$ が得らる。

従って， $\int_0^y \dfrac{dr}{\sqrt{1-r^4}} = \int_{\sqrt{\frac{1-y^2}{1+y^2}}}^1 \dfrac{-ds}{\sqrt{1-s^4}}$ つまり $\mathrm{arcsl} \ y = \mathrm{arccl} \ \sqrt{\frac{1-y^2}{1+y^2}}$ を得る。 $y = \mathrm{sl} \ x$ を代入することで $x = \mathrm{arccl} \ \sqrt{\frac{1-\mathrm{sl}^2 x}{1+\mathrm{sl}^2 x}}$ となる。逆関数の定義より $\mathrm{cl} \ x = \sqrt{\frac{1-\mathrm{sl}^2 x}{1+\mathrm{sl}^2 x}}$ である。整理することで式を得る。

次に紹介するものは加法定理の類型です。

性質4

$\mathrm{sl}\ (x+y) = \dfrac{\mathrm{sl}\ x \ \mathrm{cl}\ y + \mathrm{cl}\ x \ \mathrm{sl}\ y}{1- \mathrm{sl}\ x \ \mathrm{sl}\ y\ \mathrm{cl}\ x\ \mathrm{cl}\ y}\\ \mathrm{cl}\ (x+y) = \dfrac{\mathrm{cl}\ x \ \mathrm{cl}\ y + \mathrm{sl}\ x \ \mathrm{sl}\ y}{1- \mathrm{sl}\ x \ \mathrm{sl}\ y\ \mathrm{cl}\ x\ \mathrm{cl}\ y}$

$S = \mathrm{sl} \ x \ \mathrm{cl} \ y$ ， $C = \mathrm{cl} \ x \ \mathrm{sl} \ y$ とすると $\mathrm{sl} \ (x+y) = \dfrac{S+C}{1-SC}$ となります。 $\tan$ の加法定理を思わせる関係式になっています。

証明は省略します。

レムニスケート関数は，解析的整数論でしばしば登場する概念です。