一致の定理

等式が $\mathbb{C} \backslash \mathbb{Z}$ 上で成り立つことを示す。（定理中の $D$ を $\mathbb{C} \backslash \mathbb{Z}$ とする。）

※ $\mathbb{Z}$ 上では関数が極を持ち正則にならないため取り除いた。

一致の定理により $x \in (0,1)$ 上で示せば十分である。

$$\Gamma (1-x) = \int_0^{\infty} e^{-u} u^{-x} du$$ ここで $u = ts \; (t > 0)$ とおくと， $$\Gamma (1-x) = t^{1-x} \int_0^{\infty} e^{-ts} s^{-x} ds$$ となる。

よって $$\begin{aligned} \Gamma (x) \Gamma (1-x) &= \int_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} \Gamma (1-x) dt\\ &= \int_0^{\infty} e^{-t} \int_0^{\infty} e^{-ts} s^{-x} ds dt\\ &= \int_0^{\infty} s^{-x} \int_0^{\infty} e^{-t(1+s)} dtds\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{s^{-x}}{1+s} ds\\ &= \dfrac{\pi}{\sin \pi x} \end{aligned}$$ と計算される。

なお最後の積分は留数計算によって求められる。

詳しくは 留数定理による対数・無理関数の積分 の問題2を参照。

$D$ の部分集合 $U_1$ を $$U_1 = \{ z \in D \mid h^{(n)} (z) = 0 , n = 1,2,\cdots \}$$ と定める。

$U_2 = D \backslash D_1$ とおく。

$h$ が定数関数ではないと仮定する。

$D_1$，$D_2$ が共に開集合であることを示せば，$D$ の連結性と矛盾するため $h$ が定数関数であることが従う。（→ 領域の定義は連結な開集合）

1. $D_1$ が開集合であること

$a \in D_1$ が $D_1$ の内点となることを示す。すなわち，$D_1$ に含まれるような開円盤 $\Delta (a,R)$ をとることができることを示せばよい。

$D_1$ 上で　$h$ は正則であるためテイラー展開ができる。このときの収束半径を $R$ とする。

$z \in \Delta (a,R)$ 上で $$h(z) = a_0 + a_1 (z-a) + \dfrac{1}{2!} a_2 (z-a)^2 + \cdots$$ と展開できるが，$z=a$ を代入することで　$n \geqq 1$ で $a_n = 0$ を得る。よって $\Delta (a,R)$ 上で $h = a_0$，すなわち $z \in \Delta (a,R)$ において $h^{(n)} (z) = 0$ である。

こうして $\Delta (a,R) \subset D_1$ が従い，$a$ が $D_1$ の内点であることがわかった。$a$ は任意にとっていたため $D_1$ は開集合である。

2. $D_2$ が開集合であること

$a \in D_2$ を任意にとる。定義より，ある $n_0$ があって $h^{(n_0)} (a) \neq 0$ である。

このとき $0 \notin \Delta (h^{(n_0)} (a) , \varepsilon)$ となるように $\varepsilon$ をとると $h$ の連続性から $h^{-1} (\Delta (h^{(n_0)} (a) , \varepsilon))$ は $a$ の開近傍である。

こうして $a$ は $D_2$ の内点であり，$D_2$ は開集合である。

仮定から $f(a_n) = g(a_n)$ となる数列 $\{a_n\}$ は集積点 $a$ を $D$ 内に持つ。

関数 $h = f-g$ をとる。$D$ 上で $h=0$ であれば，$f=g$ が従う。

$h \neq 0$ と仮定する。

$h$ は $D$ 上で正則であるため $a$ の近傍 $\Delta (a,R)$ でテイラー展開をすることができる。

$h(a) = 0$ であるため，

$h$ のテイラー展開を $$h(z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_k (z-a)^k \quad (c_m \neq 0)$$ とおく。

1. 全ての $k$ において $c_k = 0$ のとき

補題より $h$ は定数関数である。$h(a) = 0$ と合わせると，$h = 0$ が従う。

2. 少なくとも1つの $k$ において $c_k \neq 0$ のとき

$h$ のテイラー展開を $$h(z) = \sum_{k=m}^{\infty} c_k (z-a)^k \quad (c_m \neq 0)$$ となる。

ここで $$\tilde{h} (z) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k+m} (z-a)^k$$ とおくと，$\tilde{h}$ は $\Delta (a,R)$ 上で正則で，$h (z) = (z-a)^m \tilde{h} (z)$ である。

仮定より $$(a_n - a) \tilde{h} (a_n) = h(a_n) = 0$$ であるため $\tilde{h} (a_n) = 0$ を得る。

こうして $$0 = \lim_{n \to \infty} \tilde{h} (a_n) = \tilde{h} (a) = c_m$$ となる。これは $c_m \neq 0$ と矛盾する。よって仮定は棄却され $h = 0$ すなわち $f = g$ である。