留数定理による対数・無理関数の積分

更新日時 2022/07/05
問題

次の積分を求めよ。

  1. 0dxx12(x2+1)\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)}
  2. 0dxxa(x+1)(0<a<1)\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^{a} (x+1)} \quad (0 < a < 1)
  3. 0logxx2+4  dx\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2+4} \;dx

この記事では 留数定理 を用いた指数・対数関数を含んだ実積分の計算例を紹介します。

目次
  • 1.無理関数と有理式の積

  • 2.対数関数と有理式の積

1.無理関数と有理式の積

  • 分子の次数+1分母の次数分子の次数 + 1 \leqq 分母の次数
  • 分母=0分母=0 は非負の実数解を持たない

を満たすとき,次のように積分ができます。

無理関数を扱う際の注意点があります。 被積分関数 1z12(z2+1)\dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)}e12logzz2+1\dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log z}}{z^2+1} と変形できます。logz\log z の多価性 より {zRe(z)>0}\{z \mid \mathrm{Re} (z) > 0 \} に沿って不連続となります。そのため {zRe(z)>0}\{z \mid \mathrm{Re} (z)>0 \} を避けるように積分経路を用意する必要があります。

1番の解答
  • CR={zz=R,δIm(z)δ}C_R = \{ z \mid |z|=R , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}
  • Cε={zz=ε,δIm(z)δ}C_{\varepsilon} = \{ z \mid |z|=\varepsilon , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}
  • L+={zIm(z)=δ,εzR}L_{+} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = \delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}
  • L={zIm(z)=δ,εzR}L_{-} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = -\delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}

と曲線をとり,CC を上記の和とする。このとき CC は単純閉曲線である。

picx

1z12(z2+1)\dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} の孤立特異点は z=±iz=\pm i であるため,留数定理から Cdzz12(z2+1)=2πi(Res(1z12(z2+1),i)+Res(1z12(z2+1),i))=2πi(limzi1z12(z+i)+limzi1z12(zi))=πi12π(i)12=πeπ4iπe34πi=2π2\begin{aligned} &\oint_C \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)}\\ &= 2\pi i \left( \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} , i \right) + \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} , -i \right) \right)\\ &= 2\pi i \left( \lim_{z \to i} \dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z+i)} + \lim_{z \to -i} \dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z-i)} \right)\\ &= \pi i^{-\frac{1}{2}} - \pi (-i)^{-\frac{1}{2}}\\ &= \pi e^{-\frac{\pi}{4}i} - \pi e^{-\frac{3}{4}\pi i}\\ &= \dfrac{2\pi}{\sqrt{2}} \end{aligned} である。なお i12=(eiπ2)12=eπ4i\begin{aligned} i^{-\frac{1}{2}} &= (e^{i\frac{\pi}{2}})^{-\frac{1}{2}}\\ &= e^{-\frac{\pi}{4}i} \end{aligned} と計算した。

CRC_R 上での積分を評価する。

limRCRdzz12(z2+1)limRCRdzz12z2+1limRCRdzz12(z21)limR02πRR12(R21)dθ=limR2πR12R21=0\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_R} \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|dz|}{|z^{\frac{1}{2}}| |z^2+1|}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|dz|}{|z^{\frac{1}{2}}| (|z^2|-1)}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_0^{2\pi} \dfrac{R}{R^{\frac{1}{2}} (R^2-1)} d\theta\\ &= \lim_{R \to \infty} 2\pi \dfrac{R^{\frac{1}{2}}}{R^2-1}\\ &= 0 \end{aligned} である。なお z2=z2+1+(1)z2+1+1|z^2| = |z^2+1 + (-1)| \leqq |z^2+1| + |1| より z2+1z21|z^2+1| \geqq |z^2| - 1 であることを用いた。また zz から θ\theta に置換したとき,θ\theta での積分の範囲は [0,2π][0,2\pi] ではないが,[0,2π][0,2\pi] に含まれるため,上記のような不等式で評価してよい。

次に CεC_{\varepsilon} 上での積分を評価する。1z2+1\dfrac{1}{z^2+1}CεC_{\varepsilon} 上で正則であるため,最大値 MM を持つことを用いると limε0Cεdzz12(z2+1)limε0Cεdzz12z2+1limε002πMεε12dθ=limε02Mπε12=0\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \left| \int_{C_{\varepsilon}} \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} \right| &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_\varepsilon} \dfrac{|dz|}{|z^{\frac{1}{2}}| |z^2+1|}\\ &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^{2 \pi} \dfrac{M\varepsilon}{\varepsilon^{\frac{1}{2}}} d\theta\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0} 2M\pi \varepsilon^{\frac{1}{2}}\\ &= 0 \end{aligned}

L+,LL_{+},L_{-} 上での積分を評価する。

L+L_{+} 上で被積分関数は e12log(x+iδ)(x+iδ)2+1\dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log (x + i\delta)}}{(x+i\delta)^2+1} となる。有界区間(今は [ε,R][\varepsilon , R] 上を考える)これは δ0\delta \to 0e12logxx2+1\dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log x}}{x^2+1} に一様収束する。(後述)

よって limδ0L+dzz12(z2+1)=εRe12logxx2+1dx=εRdxx12(x2+1)\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{+}} \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} &= \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log x}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^R \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)} \end{aligned} が得られる。

同様に LL_{-} で被積分関数は e12log(xiδ)(xiδ)2+1\dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log (x - i\delta)}}{(x-i\delta)^2+1} となり,δ0\delta \to 0e12(logx+2πi)x2+1\dfrac{e^{-\frac{1}{2} (\log x + 2\pi i)}}{x^2+1} に一様収束する。なお,logz=logz+iargz\log z = \log |z| + i \arg z であったことから,LL_{-} において argz2π\arg z \to 2\pi であることに注意する。

こうして limδ0Ldzz12(z2+1)=Rεe12(logx+2πi)x2+1dx=Rεe12logxeiπx2+1dx=Rεe12logxx2+1dx=εRe12logxx2+1dx=εRdxx12(x2+1)\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{-}} \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-\frac{1}{2} (\log x + 2\pi i)}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log x} e^{-i\pi}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{-e^{-\frac{1}{2} \log x}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log x}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^R \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)} \end{aligned} が得られる。

以上をまとめると limRlimε0limδ0Cdzz12(z2+1)=20dxx12(x2+1) \lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} = 2 \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)} となり,R,ε,δR,\varepsilon,\delta に寄らず Cdzz12(z2+1)=22π \oint_C \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} \pi であるため, 0dxx12(x2+1)=π2 \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)} = \dfrac{\pi}{\sqrt{2}} となる。

一様収束の証明

f(z)=e12logzz2+1f(z) = \dfrac{e^{\frac{1}{2} \log z}}{z^2+1} は一様連続である。

よって任意に正数 ε\varepsilon' を取ったとき,ab<δ|a-b| < \delta' であれば f(a)f(b)<ε|f(a) - f(b) | < \varepsilon' とできる。

x[ε,R]x \in [\varepsilon , R] として fδ(x)=f(x+iδ)f_{\delta} (x) = f(x+i\delta) と定めたとき,δ<δ\delta < \delta' であれば一様連続性から f+0(x)fδ(x)=f(x)f(x+iδ)<ε|f_{+0} (x) - f_{\delta} (x)| = |f(x) - f(x+i\delta)| < \varepsilon' である。

よって supx[ε,R]f+0(x)fδ(x)<ε\sup_{x \in [\varepsilon , R]} |f_{+0} (x) - f_{\delta} (x) | < \varepsilon' となり一様収束することが従う。

一般的なケース

2番の解答
  • CR={zz=R,δIm(z)δ}C_R = \{ z \mid |z|=R , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}
  • Cε={zz=ε,δIm(z)δ}C_{\varepsilon} = \{ z \mid |z|=\varepsilon , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}
  • L+={zIm(z)=δ,εzR}L_{+} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = \delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}
  • L={zIm(z)=δ,εzR}L_{-} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = -\delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}

と曲線をとり,CC を上記の和とする。このとき CC は単純閉曲線である。

picy

1z12(z2+1)\dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} の孤立特異点は z=±iz=\pm i であるため,留数定理から Cdzza(z2+1)=2πi  Res(1za(z+1),i)=2πi  limz11za=2πi  limz1ealogx=2πieaiπ\begin{aligned} &\oint_C \dfrac{dz}{z^{a} (z^2+1)}\\ &= 2\pi i \; \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^{a} (z+1)} , i \right)\\ &= 2\pi i \; \lim_{z \to -1} \dfrac{1}{z^{a}}\\ &= 2\pi i \; \lim_{z \to -1} e^{- a \log x}\\ &= 2\pi i e^{-a i \pi} \end{aligned} である。

CRC_R 上での積分を評価する。

limRCRdzza(z+1)limRCRdzzaz+1limRCRdzza(z1)limR02πRRa(R1)dθ=limR2πR1aR1=0\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_R} \dfrac{dz}{z^{a} (z + 1)} \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|dz|}{|z^{a}| |z + 1|}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|dz|}{|z^{a}| (|z|-1)}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_0^{2\pi} \dfrac{R}{R^{a} (R-1)} d\theta\\ &= \lim_{R \to \infty} 2\pi \dfrac{R^{1-a}}{R-1}\\ &= 0 \end{aligned} である。なお zz から θ\theta に置換したとき,θ\theta での積分の範囲は [0,2π][0,2\pi] ではないが,[0,2π][0,2\pi] に含まれるため,上記のような不等式で評価してよい。

次に CεC_{\varepsilon} 上での積分を評価する。1z+1\dfrac{1}{z+1}CεC_{\varepsilon} 上で正則であるため,最大値 MM を持つことを用いると limε0Cεdzza(z+1)limε0Cεdzzaz+1limε002πMεεadθ=limε02Mπε1a=0\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \left| \int_{C_{\varepsilon}} \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} \right| &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_\varepsilon} \dfrac{|dz|}{|z^{a}| |z+1|}\\ &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^{2 \pi} \dfrac{M\varepsilon}{\varepsilon^{a}} d\theta\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0} 2M\pi \varepsilon^{1-a}\\ &= 0 \end{aligned} である。

L+,LL_{+},L_{-} 上での積分を評価する。

L+L_{+} 上で被積分関数は ealog(x+iδ)(x+iδ)+1\dfrac{e^{-a \log (x + i\delta)}}{(x+i\delta)+1} となる。有界区間(今は [ε,R][\varepsilon , R] 上を考える)これは δ0\delta \to 0ealogxx+1\dfrac{e^{-a \log x}}{x+1} に一様収束する。

よって limδ0L+dzza(z+1)=εRealogxx+1dx=εRdxxa(x2+1)\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{+}} \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} &= \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{e^{-a \log x}}{x+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^R \dfrac{dx}{x^{a} (x^2+1)} \end{aligned} が得られる。

同様に LL_{-} で被積分関数は ealog(xiδ)(xiδ)+1\dfrac{e^{-a \log (x - i\delta)}}{(x-i\delta)+1} となり,δ0\delta \to 0ea(logx+2πi)x+1\dfrac{e^{-a (\log x + 2\pi i)}}{x+1} に一様収束する。なお,logz=logz+iargz\log z = \log |z| + i \arg z であったことから,LL_{-} において argz2π\arg z \to 2\pi であることに注意する。

こうして limδ0Ldzza(z+1)=Rεea(logx+2πi)x+1dx=Rεealogxe2aiπx+1dx=Rεe2aiπealogxx+1dx=εRe2aiπealogxx+1dx=εRe2aiπdxxa(x+1)\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{-}} \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-a (\log x + 2\pi i)}}{x+1} dx\\ &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-a \log x} e^{-2ai\pi}}{x+1} dx\\ &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-2ai\pi} e^{-a \log x}}{x+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{-e^{-2ai\pi} e^{-a \log x}}{x+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^R \dfrac{-e^{-2ai\pi} dx}{x^{a} (x+1)} \end{aligned} が得られる。

以上をまとめると limRlimε0limδ0Cdzza(z+1)=(1e2aiπ)0dxxa(x+1) \lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} = (1-e^{-2ai\pi}) \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx}{x^{a} (x+1)} となり,R,ε,δR,\varepsilon,\delta に寄らず Cdzza(z+1)=2πieaiπ1e2aiπ=2iπeaiπeaiπ=πsinπa\begin{aligned} \oint_C \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} &= \dfrac{2\pi i e^{-a i \pi}}{1-e^{-2ai\pi}}\\ &= \dfrac{2i \pi}{e^{ai\pi} - e^{-ai\pi}}\\ &= \dfrac{\pi}{\sin \pi a} \end{aligned} であるため, 0dxxa(x2+1)=πsinπa \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx}{x^{a} (x^2+1)} = \dfrac{\pi}{\sin \pi a} となる。

0<a<1,b>00 < a < 1 , b > 0 のとき,同様にして 0dxxa(x2+b2)=π2b1+acosaπ2 \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^a (x^2+b^2)} = \dfrac{\pi}{2b^{1+a} \cos \frac{a\pi}{2}} と計算されます。

2.対数関数と有理式の積

1番のパターンとやることは変わりませんが,留数定理を適用させる関数に工夫が必要です。

3番の解答
  • CR={zz=R,δIm(z)δ}C_R = \{ z \mid |z|=R , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}
  • Cε={zz=ε,δIm(z)δ}C_{\varepsilon} = \{ z \mid |z|=\varepsilon , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}
  • L+={zIm(z)=δ,εzR}L_{+} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = \delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}
  • L={zIm(z)=δ,εzR}L_{-} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = -\delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}

と曲線をとり,CC を上記の和とする。このとき CC は単純閉曲線である。

piclog

(logz)2z2+4\dfrac{(\log z)^2}{z^2+4}z=±2iz=\pm 2 i で1位の極を持つ。よって留数定理から C(logz)2z2+4dz=2πi(Res((logz)2z2+4,2i)+Res((logz)2z2+4,2i))=2πi(limz2i(logz)2z+2i+limz2i(logz)2z2i)=2πi((log2+π2i)24i(log2+32πi)24i)=2πi(2πilog2+2π24i)=π2ilog2+π3\begin{aligned} &\oint_C \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz\\ &= 2\pi i\left( \mathrm{Res} \left( \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} , 2i \right) + \mathrm{Res} \left( \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} , -2i \right) \right)\\ &= 2 \pi i \left( \lim_{z \to 2i} \dfrac{(\log z)^2}{z+2i} + \lim_{z \to -2i} \dfrac{(\log z)^2}{z-2i} \right)\\ &= 2 \pi i \left( \dfrac{(\log 2 + \frac{\pi}{2} i)^2}{4i} - \dfrac{(\log 2 + \frac{3}{2} \pi i)^2}{4i} \right)\\ &= 2 \pi i \left( \dfrac{-2 \pi i \log 2 + 2 \pi^2}{4i} \right)\\ &= -\pi^2 i \log 2 + \pi^3 \end{aligned} である。

CRC_R 上での積分を評価する。 limRCR(logz)2z2+4limRCR(logz)2z2+4dzlimR02π(logR)2+θ2R2+4R  dθ=limRR(logR)2R2+4(2π+8π33)=0\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_R} \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|(\log z)^2|}{|z^2+4|} |dz|\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \dfrac{(\log R)^2 +\theta^2}{R^2+4} R\;d\theta\\ &= \lim_{R \to \infty} \dfrac{R(\log R)^2}{R^2+4} \left( 2\pi + \dfrac{8\pi^3}{3} \right)\\ &= 0 \end{aligned}

次に CεC_{\varepsilon} 上での積分を評価する。1z2+4\dfrac{1}{z^2+4}CεC_{\varepsilon} 上で正則であるため,最大値 MM を持つことを用いると limε0(logz)2z2+4limε0Cε(logz)2z2+4dzlimε002π((logε)2+θ2)Mε  dθ=limε0(2π+8π33)((logε)2+θ2)Mε=0\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \left| \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} \right| &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_\varepsilon} \dfrac{|(\log z)^2|}{|z^2+4|} |dz|\\ &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^{2 \pi} ((\log \varepsilon)^2 + \theta^2) M\varepsilon \; d\theta\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0} \left( 2\pi + \dfrac{8\pi^3}{3} \right) ((\log \varepsilon)^2 + \theta^2) M\varepsilon\\ &= 0 \end{aligned} となる。

L+,LL_{+},L_{-} 上での積分を評価する。

L+L_{+} 上で被積分関数は (log(x+iδ))2(x+iδ)2+4\dfrac{(\log (x+i\delta))^2}{(x+i\delta)^2+4} となる。有界区間(今は [ε,R][\varepsilon , R] 上を考える)これは δ0\delta \to 0(logx)2x2+4\dfrac{(\log x)^2}{x^2+4} に一様収束する。(4番と同様)

よって limδ0L+(logz)2z2+4dz=εR(logx)2x2+4dx \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{+}} \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz = \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{(\log x)^2}{x^2+4} dx が得られる。

同様に LL_{-} で被積分関数は (log(xiδ))2(x+iδ)2+4\dfrac{(\log (x-i\delta))^2}{(x+i\delta)^2+4} となり,δ0\delta \to 0(logx+2πi)2x2+4\dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2+4} に一様収束する。なお,logz=logz+iargz\log z = \log |z| + i \arg z であったことから,LL_{-} において argz2π\arg z \to 2\pi であることに注意する。

こうして limδ0L(logz)2z2+4dz=Rε(logx+2πi)2x2+4dx=εR(logx+2πi)2x2+4dx\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{-}} \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2+4} dx\\ &= -\int_{\varepsilon}^R \dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2+4} dx \end{aligned} が得られる。

以上をまとめると limRlimε0limδ0C(logz)2z2+4dz=0(logx)2x2+4dx0(logx+2πi)2x2+4dx=04π24πilogxx2+4dx=4π201x2+4dx4iπ0logxx2+4dx\begin{aligned} &\lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz\\ &= \int_{0}^{\infty} \dfrac{(\log x)^2}{x^2+4} dx -\int_{0}^{\infty} \dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2+4} dx\\ &= \int_{0}^{\infty} \dfrac{4\pi^2-4\pi i \log x}{x^2+4} dx\\ &= 4\pi^2\int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{x^2+4} dx-4 i \pi \int_{0}^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2+4} dx \end{aligned} となる。一方で limRlimε0limδ0C(logz)2z2+4dz=π3iπ2log2 \lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz =\pi^3 -i\pi^2 \log 2 より 0logxx2+4dx=πlog24 \int_{0}^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2+4} dx = \dfrac{\pi\log 2}{4} である。

ここでは同時に 0dxx2+4=π4\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{dx}{x^2+4} = \dfrac{\pi}{4} が得られます。

log\log の積分を応用することで,積分区間が正の実数上の有理関数の積分値を求めることができます。(logz)2R(z)(\log z)^2 R(z) を被積分関数に使うことも含めてトリッキーかつ美しい計算です。

これで留数定理の実積分への応用は終了です。留数定理にはまだまだ多くの応用があります。お楽しみに。