留数定理による対数・無理関数の積分

• $C_R = \{ z \mid |z|=R , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}$
• $C_{\varepsilon} = \{ z \mid |z|=\varepsilon , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}$
• $L_{+} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = \delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}$
• $L_{-} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = -\delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}$

と曲線をとり，$C$ を上記の和とする。このとき $C$ は単純閉曲線である。

$\dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)}$ の孤立特異点は $z=\pm i$ であるため，留数定理から $$\begin{aligned} &\oint_C \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)}\\ &= 2\pi i \left( \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} , i \right) + \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} , -i \right) \right)\\ &= 2\pi i \left( \lim_{z \to i} \dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z+i)} + \lim_{z \to -i} \dfrac{1}{z^{\frac{1}{2}} (z-i)} \right)\\ &= \pi i^{-\frac{1}{2}} - \pi (-i)^{-\frac{1}{2}}\\ &= \pi e^{-\frac{\pi}{4}i} - \pi e^{-\frac{3}{4}\pi i}\\ &= \dfrac{2\pi}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$ である。なお $$\begin{aligned} i^{-\frac{1}{2}} &= (e^{i\frac{\pi}{2}})^{-\frac{1}{2}}\\ &= e^{-\frac{\pi}{4}i} \end{aligned}$$ と計算した。

$C_R$ 上での積分を評価する。

$$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_R} \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|dz|}{|z^{\frac{1}{2}}| |z^2+1|}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|dz|}{|z^{\frac{1}{2}}| (|z^2|-1)}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_0^{2\pi} \dfrac{R}{R^{\frac{1}{2}} (R^2-1)} d\theta\\ &= \lim_{R \to \infty} 2\pi \dfrac{R^{\frac{1}{2}}}{R^2-1}\\ &= 0 \end{aligned}$$ である。なお $|z^2| = |z^2+1 + (-1)| \leqq |z^2+1| + |1|$ より $|z^2+1| \geqq |z^2| - 1$ であることを用いた。また $z$ から $\theta$ に置換したとき，$\theta$ での積分の範囲は $[0,2\pi]$ ではないが，$[0,2\pi]$ に含まれるため，上記のような不等式で評価してよい。

次に $C_{\varepsilon}$ 上での積分を評価する。$\dfrac{1}{z^2+1}$ は $C_{\varepsilon}$ 上で正則であるため，最大値 $M$ を持つことを用いると $$\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \left| \int_{C_{\varepsilon}} \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} \right| &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_\varepsilon} \dfrac{|dz|}{|z^{\frac{1}{2}}| |z^2+1|}\\ &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^{2 \pi} \dfrac{M\varepsilon}{\varepsilon^{\frac{1}{2}}} d\theta\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0} 2M\pi \varepsilon^{\frac{1}{2}}\\ &= 0 \end{aligned}$$

$L_{+},L_{-}$ 上での積分を評価する。

$L_{+}$ 上で被積分関数は $\dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log (x + i\delta)}}{(x+i\delta)^2+1}$ となる。有界区間（今は $[\varepsilon , R]$ 上を考える）これは $\delta \to 0$ で $\dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log x}}{x^2+1}$ に一様収束する。（後述）

よって $$\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{+}} \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} &= \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log x}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^R \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)} \end{aligned}$$ が得られる。

同様に $L_{-}$ で被積分関数は $\dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log (x - i\delta)}}{(x-i\delta)^2+1}$ となり，$\delta \to 0$ で $\dfrac{e^{-\frac{1}{2} (\log x + 2\pi i)}}{x^2+1}$ に一様収束する。なお，$\log z = \log |z| + i \arg z$ であったことから，$L_{-}$ において $\arg z \to 2\pi$ であることに注意する。

こうして $$\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{-}} \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-\frac{1}{2} (\log x + 2\pi i)}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log x} e^{-i\pi}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{-e^{-\frac{1}{2} \log x}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{e^{-\frac{1}{2} \log x}}{x^2+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^R \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)} \end{aligned}$$ が得られる。

以上をまとめると $$\lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} = 2 \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)}$$ となり，$R,\varepsilon,\delta$ に寄らず $$\oint_C \dfrac{dz}{z^{\frac{1}{2}} (z^2+1)} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} \pi$$ であるため， $$\int_{0}^{\infty} \dfrac{dx}{x^{\frac{1}{2}} (x^2+1)} = \dfrac{\pi}{\sqrt{2}}$$ となる。

• $C_R = \{ z \mid |z|=R , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}$
• $C_{\varepsilon} = \{ z \mid |z|=\varepsilon , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}$
• $L_{+} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = \delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}$
• $L_{-} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = -\delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}$

と曲線をとり，$C$ を上記の和とする。このとき $C$ は単純閉曲線である。

$\dfrac{1}{z^{a} (z+1)}$ の孤立特異点は $z=- i$ であるため，留数定理から $$\begin{aligned} &\oint_C \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)}\\ &= 2\pi i \; \mathrm{Res} \left( \dfrac{1}{z^{a} (z+1)} , -1 \right)\\ &= 2\pi i \; \lim_{z \to -1} \dfrac{1}{z^{a}}\\ &= 2\pi i \; \lim_{z \to -1} e^{- a \log x}\\ &= 2\pi i e^{-a i \pi} \end{aligned}$$ である。

$C_R$ 上での積分を評価する。

$$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_R} \dfrac{dz}{z^{a} (z + 1)} \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|dz|}{|z^{a}| |z + 1|}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|dz|}{|z^{a}| (|z|-1)}\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_0^{2\pi} \dfrac{R}{R^{a} (R-1)} d\theta\\ &= \lim_{R \to \infty} 2\pi \dfrac{R^{1-a}}{R-1}\\ &= 0 \end{aligned}$$ である。なお $z$ から $\theta$ に置換したとき，$\theta$ での積分の範囲は $[0,2\pi]$ ではないが，$[0,2\pi]$ に含まれるため，上記のような不等式で評価してよい。

次に $C_{\varepsilon}$ 上での積分を評価する。$\dfrac{1}{z+1}$ は $C_{\varepsilon}$ 上で正則であるため，最大値 $M$ を持つことを用いると $$\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \left| \int_{C_{\varepsilon}} \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} \right| &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_\varepsilon} \dfrac{|dz|}{|z^{a}| |z+1|}\\ &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^{2 \pi} \dfrac{M\varepsilon}{\varepsilon^{a}} d\theta\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0} 2M\pi \varepsilon^{1-a}\\ &= 0 \end{aligned}$$ である。

$L_{+},L_{-}$ 上での積分を評価する。

$L_{+}$ 上で被積分関数は $\dfrac{e^{-a \log (x + i\delta)}}{(x+i\delta)+1}$ となる。有界区間（今は $[\varepsilon , R]$ 上を考える）これは $\delta \to 0$ で $\dfrac{e^{-a \log x}}{x+1}$ に一様収束する。

よって $$\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{+}} \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} &= \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{e^{-a \log x}}{x+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^R \dfrac{dx}{x^{a} (x^2+1)} \end{aligned}$$ が得られる。

同様に $L_{-}$ で被積分関数は $\dfrac{e^{-a \log (x - i\delta)}}{(x-i\delta)+1}$ となり，$\delta \to 0$ で $\dfrac{e^{-a (\log x + 2\pi i)}}{x+1}$ に一様収束する。なお，$\log z = \log |z| + i \arg z$ であったことから，$L_{-}$ において $\arg z \to 2\pi$ であることに注意する。

こうして $$\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{-}} \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-a (\log x + 2\pi i)}}{x+1} dx\\ &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-a \log x} e^{-2ai\pi}}{x+1} dx\\ &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{e^{-2ai\pi} e^{-a \log x}}{x+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{-e^{-2ai\pi} e^{-a \log x}}{x+1} dx\\ &= \int_{\varepsilon}^R \dfrac{-e^{-2ai\pi} dx}{x^{a} (x+1)} \end{aligned}$$ が得られる。

以上をまとめると $$\lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} = (1-e^{-2ai\pi}) \int_{0}^{\infty} \dfrac{dx}{x^{a} (x+1)}$$ となり，$R,\varepsilon,\delta$ に寄らず $$\begin{aligned} \oint_C \dfrac{dz}{z^{a} (z+1)} &= \dfrac{2\pi i e^{-a i \pi}}{1-e^{-2ai\pi}}\\ &= \dfrac{2i \pi}{e^{ai\pi} - e^{-ai\pi}}\\ &= \dfrac{\pi}{\sin \pi a} \end{aligned}$$ であるため， $$\int_{0}^{\infty} \dfrac{dx}{x^{a} (x^2+1)} = \dfrac{\pi}{\sin \pi a}$$ となる。

• $C_R = \{ z \mid |z|=R , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}$
• $C_{\varepsilon} = \{ z \mid |z|=\varepsilon , -\delta \leqq \mathrm{Im} (z) \leqq \delta\}$
• $L_{+} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = \delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}$
• $L_{-} = \{ z \mid \mathrm{Im} (z) = -\delta , \varepsilon \leqq |z| \leqq R \}$

と曲線をとり，$C$ を上記の和とする。このとき $C$ は単純閉曲線である。

$\dfrac{(\log z)^2}{z^2+4}$ は $z=\pm 2 i$ で1位の極を持つ。よって留数定理から $$\begin{aligned} &\oint_C \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz\\ &= 2\pi i\left( \mathrm{Res} \left( \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} , 2i \right) + \mathrm{Res} \left( \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} , -2i \right) \right)\\ &= 2 \pi i \left( \lim_{z \to 2i} \dfrac{(\log z)^2}{z+2i} + \lim_{z \to -2i} \dfrac{(\log z)^2}{z-2i} \right)\\ &= 2 \pi i \left( \dfrac{(\log 2 + \frac{\pi}{2} i)^2}{4i} - \dfrac{(\log 2 + \frac{3}{2} \pi i)^2}{4i} \right)\\ &= 2 \pi i \left( \dfrac{-2 \pi i \log 2 + 2 \pi^2}{4i} \right)\\ &= -\pi^2 i \log 2 + \pi^3 \end{aligned}$$ である。

$C_R$ 上での積分を評価する。 $$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \left| \int_{C_R} \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} \right| &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{|(\log z)^2|}{|z^2+4|} |dz|\\ &\leqq \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{2\pi} \dfrac{(\log R)^2 +\theta^2}{R^2+4} R\;d\theta\\ &= \lim_{R \to \infty} \dfrac{R(\log R)^2}{R^2+4} \left( 2\pi + \dfrac{8\pi^3}{3} \right)\\ &= 0 \end{aligned}$$

次に $C_{\varepsilon}$ 上での積分を評価する。$\dfrac{1}{z^2+4}$ は $C_{\varepsilon}$ 上で正則であるため，最大値 $M$ を持つことを用いると $$\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \left| \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} \right| &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_\varepsilon} \dfrac{|(\log z)^2|}{|z^2+4|} |dz|\\ &\leqq \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^{2 \pi} ((\log \varepsilon)^2 + \theta^2) M\varepsilon \; d\theta\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0} \left( 2\pi + \dfrac{8\pi^3}{3} \right) ((\log \varepsilon)^2 + \theta^2) M\varepsilon\\ &= 0 \end{aligned}$$ となる。

$L_{+},L_{-}$ 上での積分を評価する。

$L_{+}$ 上で被積分関数は $\dfrac{(\log (x+i\delta))^2}{(x+i\delta)^2+4}$ となる。有界区間（今は $[\varepsilon , R]$ 上を考える）これは $\delta \to 0$ で $\dfrac{(\log x)^2}{x^2+4}$ に一様収束する。（4番と同様）

よって $$\lim_{\delta \to 0} \int_{L_{+}} \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz = \int_{\varepsilon}^{R} \dfrac{(\log x)^2}{x^2+4} dx$$ が得られる。

同様に $L_{-}$ で被積分関数は $\dfrac{(\log (x-i\delta))^2}{(x+i\delta)^2+4}$ となり，$\delta \to 0$ で $\dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2+4}$ に一様収束する。なお，$\log z = \log |z| + i \arg z$ であったことから，$L_{-}$ において $\arg z \to 2\pi$ であることに注意する。

こうして $$\begin{aligned} \lim_{\delta \to 0} \int_{L_{-}} \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz &= \int_{R}^{\varepsilon} \dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2+4} dx\\ &= -\int_{\varepsilon}^R \dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2+4} dx \end{aligned}$$ が得られる。

以上をまとめると $$\begin{aligned} &\lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz\\ &= \int_{0}^{\infty} \dfrac{(\log x)^2}{x^2+4} dx -\int_{0}^{\infty} \dfrac{(\log x + 2\pi i)^2}{x^2+4} dx\\ &= \int_{0}^{\infty} \dfrac{4\pi^2-4\pi i \log x}{x^2+4} dx\\ &= 4\pi^2\int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{x^2+4} dx-4 i \pi \int_{0}^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2+4} dx \end{aligned}$$ となる。一方で $$\lim_{R \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{\delta \to 0} \oint_C \dfrac{(\log z)^2}{z^2+4} dz =\pi^3 -i\pi^2 \log 2$$ より $$\int_{0}^{\infty} \dfrac{\log x}{x^2+4} dx = \dfrac{\pi\log 2}{4}$$ である。