リーマンの可除特異点定理

前半

$g(z)$ は $z=a$ の近傍で正則であるため，$z \in \Delta (a,R)$ において $\displaystyle g(z) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i (z-a)^i$ とテイラー展開される。よって $f(z)$ の $z=a$ 周りのローラン展開は $$\begin{aligned} f(z) &= \dfrac{g(z)}{(z-a)^n}\\ &= \sum_{i=0}^{\infty} a_i (z-a)^{i-n}\\ &= \sum_{i=-n}^{\infty} a_{i+n} (z-a)^i\\ &= \dfrac{a_0}{(z-a)^n} + \cdots + \sum_{i=0}^{\infty} a_{i+n} (z-a)^i \end{aligned}$$ と表される。こうして $f(z)$ は $z=a$ を $n$ 位の極に持つ。

後半

方針

1. 前半を踏まえると $(z-a)^n f(z)$ が正則であることを示せばよい。
2. リーマンの可除特異点定理を思い出せば $(z-a)^n f(z)$ の有界性を示せばよい。

$\displaystyle \lim_{z \to a} |(z-a)^n f(z)| = M < +\infty$ とおく。

$|(z-a)^n f(z)|$ が $z \to a$ で $M$ に収束するため，任意の $\varepsilon > 0$ に対し，$\delta > 0$ を適当に取ることで $$\begin{aligned} &0 < |z-a| < \delta\\ &\Rightarrow ||(z-a)^n f(z)| - M| < \varepsilon \end{aligned}$$ を得る。すなわち $0 < |z-a| < \delta$ であれば $$M-\varepsilon < |(z-a)^n f(z)| < M+\varepsilon$$ であることが得られる。

この不等式は $(z-a)^n f(z)$ が $\Delta (a,\delta) \backslash \{a\}$ で有界であることを意味する。

よってリーマンの特異点除去定理より $z=a$ は $(z-a)^n f(z)$ の可除特異点である。このことは $(z-a)^n f(z)$ が $\Delta (a,\delta)$ 全体で正則となることを意味する。

よって $g(z) = (z-a)^n f(z)$ とおけば，$f(z)$ は $\Delta (a,\delta)$ 上で正則な関数 $g(z)$ を用いて $\dfrac{g(z)}{(z-a)^n}$ と表されるため，前半の主張より $z=a$ を $n$ 位の極に持つ。

$f(z) = a_n (z-a)^n + a_{n+1} (z-a)^{n+1} + \cdots$ とおく。

$k < n$ であれば $$\begin{aligned} &\lim_{z \to a} \left| \dfrac{(z-a)^k}{f(z)} \right|\\ &= \lim_{z \to a} \left| \dfrac{(z-a)^k}{a_n (z-a)^n + a_{n+1} (z-a)^{n+1} + \cdots} \right|\\ &\geqq \lim_{z \to a} \left| \dfrac{(z-a)^k}{a_n (z-a)^n} \right|\\ &= \lim_{z \to a} \left| \dfrac{1}{a_n (z-a)^{n-k}} \right| = \infty \end{aligned}$$ である。一方 $$\begin{aligned} &\lim_{z \to a} \left| \dfrac{(z-a)^n}{f(z)} \right|\\ &= \lim_{z \to a} \left| \dfrac{(z-a)^n}{a_n (z-a)^n + a_{n+1} (z-a)^{n+1} + \cdots} \right|\\ &= \lim_{z \to a} \left| \dfrac{1}{a_n + a_{n+1} (z-a)^{1} + \cdots} \right|\\ &= \dfrac{1}{|a_n|} < +\infty \end{aligned}$$ である。

1 の後半から $1/f(z)$ は $z=a$ で $n$ 位の極を持つ。

$\Delta (a,R) \backslash \{ a \}$ 上で $|f(z)| \leqq M$ とする。$f$ の $a$ の周りのローラン展開を $$f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n$$ とおく。

ローラン展開の係数は $$a_n = \dfrac{1}{2 \pi i} \oint_{|z - a| = r} \dfrac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \; dz$$ と計算されるため $$\begin{aligned} |a_n| &= \left| \dfrac{1}{2 \pi i} \oint_{|z - a| = r} \dfrac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \; dz \right|\\ &\leqq \dfrac{1}{2 \pi} \oint_{|z - a| = r} \dfrac{|f(z)|}{|z - a|^{n+1}} \; |dz|\\ &\leqq \dfrac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \dfrac{M}{r^n} \; d\theta\\ &= \dfrac{M}{r^n} \end{aligned}$$ が得られる。

こうして $n < 0$ のとき $$|c_n| \leqq M r^{-n}$$ となる。$-n > 0$ より $r \to 0$ とすると右辺は $0$ に収束する。よって $c_m = 0$ である。

こうして $f$ の級数展開は $$f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n (z-a)^n$$ と，主要部が存在しないことがわかる。よって $z=a$ は可除特異点であることが従う。

ローラン展開から任意の $R_1 < R < R_2$ に対して $$f(a+ Re^{i\theta}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n R^n e^{in\theta}$$ である。

よって $$\begin{aligned} &\dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(a+ Re^{i\theta})|^2 \; d\theta\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n R^n e^{in\theta} \right) \left( \sum_{m=-\infty}^{\infty} \overline{c_m} R^m e^{-im\theta} \right) d\theta\\ &= \sum_{n,m=-\infty}^{\infty} \int_0^{2\pi} c_n \overline{c_m} R^{m+n} e^{i(n-m) \theta}d\theta\\ &= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2 R^{2n} \end{aligned}$$ となる。なお $$\int_0^{2\pi} e^{i(n-m)\theta} d\theta = \begin{cases} \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi &(n=m)\\ \left[\dfrac{e^{i(n-m)\theta}}{i(n-m)}\right]_0^{2\pi} = 0 &(n\neq m) \end{cases}$$ であることを用いた。

仮定より $|f(z)|$ は $R_1 < |z-a| < R_2$ で最大値 $M$ を取るため $$\dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(a+Re^{i\theta})|^2 \;d\theta \leqq \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} M^2 \; d\theta = M^2$$ となり求めるべき不等式 $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 R^{2n} \leqq M^2$$ が得られる。

任意の $0 < r < R$ に対し， $$|c_n|^2 r^{2n} \leqq \sum_{m=-\infty}^{\infty} |c_m|^2 R^{2m} \leqq M^2$$ である。なお，後半の不等式はグッツマーの不等式より従う。これより $|c_n|^2 \leqq \dfrac{M^2}{r^{2n}}$ を得る。