重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明

更新 2022/10/01

バーゼル問題
∑n=1∞1n2=π26
\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}
n=1∑∞​n21​=6π2​
この記事ではバーゼル問題を重積分を用いて証明します。
変数変換のテクニックが大変美しい証明となっています。
重積分については
重積分の計算方法と例題3問
ヤコビ行列，ヤコビアンの定義と極座標の例
重積分の変数変換とヤコビアン
を参照してください。バーゼル問題については
バーゼル問題の初等的な証明
もどうぞ。
別証として重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明2 もどうぞ。

証明

$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^2} + \sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{1}{(2m)^2}\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^2} + \dfrac{1}{4} \sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{1}{m^2} \end{aligned}$ と変形することで $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{4}{3} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^2}$ が得られます。

よって次の式を証明すればよいことになります。

定理

$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^2} = \dfrac{\pi^2}{8}$

重積分 $I$ を $I = \int_0^1 \int_0^1 \dfrac{1}{1-x^2 y^2} dxdy$ とおく。

積分を変形して，積分値が求める値になることを確認する。

$0 < x,y < 1$ より $\dfrac{1}{1-x^2 y^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (xy)^{2n}$ とでき，この極限と積分の順序は入れ替えることができる。→ 積分と極限（無限和）の交換

よって $\begin{aligned} I &= \int_0^1 \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty} (xy)^{2n} dxdy\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^1 \int_0^1 x^{2n} y^{2n} dxdy\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^1 x^{2n} dx \int_0^1 y^{2n} dy\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^2} \end{aligned}$ と変形される。

$I$ の計算のために変数変換を導入する。

$\cos u = \sqrt{\dfrac{1-x^2}{1-x^2 y^2}}$ ， $\cos v = \sqrt{\dfrac{1-y^2}{1-x^2 y^2}}$ とおく。定義から $0 < u,v < \dfrac{\pi}{2}$ である。

このとき $\sin u = x \sqrt{\dfrac{1-y^2}{1-x^2 y^2}}$ ， $\sin v = y \sqrt{\dfrac{1-x^2}{1-x^2 y^2}}$ であるため， $x = \dfrac{\sin u}{\cos v} , \; y = \dfrac{\sin v}{\cos u}$ である。

この変数変換によって積分範囲がどのように変化するか調べる。

$0 < x < 1$ ， $0 < y < 1$ に上の式を代入すると

$\begin{aligned} &0 < \dfrac{\sin u}{\cos v} < 1\\ &\iff \sin u > 0 , \; \cos v > \sin u\\ &0 < \dfrac{\sin v}{\cos u} < 1\\ &\iff \sin v > 0 , \; \cos u > \sin v \end{aligned}$

となる。

$\begin{cases} \cos v > \sin u\\ \cos u > \sin v \end{cases}$ を解けば良い。対称性より1つめの式のみの考察でよい。

$\cos v = \sin \left( \dfrac{\pi}{2} - v \right)$ と $0 < u,v < \dfrac{\pi}{2}$ に注意すると $\dfrac{\pi}{2} - v > u$ すなわち $u+v < \dfrac{\pi}{2}$ を得る。

以上をまとめると， $u > 0$ ， $v > 0$ ， $u+v < \dfrac{\pi}{2}$ を得る。

ヤコビアンを計算する。

$\begin{aligned} J &= \det \begin{pmatrix} \dfrac{dx}{du} & \dfrac{dx}{dv}\\ \dfrac{dy}{du} & \dfrac{dy}{dv} \end{pmatrix}\\ &= \det \begin{pmatrix} \dfrac{\cos u}{\cos v} & \dfrac{\sin u \sin v}{\cos^2 v}\\ \dfrac{\sin v \sin u}{\cos^2 u} & \dfrac{\cos u}{\cos v} \end{pmatrix}\\ &= \dfrac{\cos u}{\cos v} \dfrac{\cos u}{\cos v} - \dfrac{\sin v \sin u}{\cos^2 u}\dfrac{\sin u \sin v}{\cos^2 v}\\ &= 1 - x^2 y^2 \end{aligned}$ と計算される。

$I$ を計算する。

$S = \{ (u,v) \mid u > 0 , v > 0 , u+v < \frac{\pi}{2} \}$ とおく。

$\begin{aligned} I &= \iint_S \dfrac{1}{1-x^2 y^2} (1-x^2 y^2) dudv\\ &= \iint_S dudv\\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2}\\ &= \dfrac{\pi^2}{8} \end{aligned}$ を得る。

証明の歴史と参考文献

もともと 11−xy=∑n=0∞(xy)n\displaystyle \dfrac{1}{1-xy} = \sum_{n=0}^{\infty} (xy)^n1−xy1​=n=0∑∞​(xy)n と変形することで 
∫01∫01dxdy1−xy=ζ(2)
\int_0^1 \int_0^1 \dfrac{dxdy}{1-xy} = \zeta (2)
∫01​∫01​1−xydxdy​=ζ(2)
という式が得られることが知られていました。
この事実をより広く ζ(2n)\zeta (2n)ζ(2n) の計算に応用したいと思うのが数学者の性というものでしょう。
その後，ζ(2n)\zeta (2n)ζ(2n) の代わりに ∑1(2m+1)2n\displaystyle \sum \dfrac{1}{(2m+1)^{2n}}∑(2m+1)2n1​ を考えるとシンプルに左辺の積分が計算されることが，Beukers・Calabi・Kolk の3人によって発表されます。
この証明は Aigner・Ziegler の Proof from
THE BOOK（邦訳：天書の証明）で ζ(2)=π26\zeta (2) = \dfrac{\pi^2}{6}ζ(2)=6π2​ の証明の1つとして紹介されています。
F. Beukers, E. Calabi and J.A.C. Kolk，Sums of generalized harmonic series and volumes，1993．
M. Aigner, G.M. Ziegler，Proof from
THE BOOK 6th edition，Springer-Verlag，2018．（邦訳 蟹江幸博訳，天書の証明 原著6版，丸善出版，2022．）
『天書の証明』にはその他様々な証明が記載されているため，是非読んでみてください。