最大値の原理とシュワルツの補題

$\Delta (a,R) \subset D$ となる正数 $R$ をとる。（$D$ は開集合であることからこのような $R$ をとることができる。詳しくは 距離空間～位相空間論に向けた開集合・閉集合の一般化 の開集合の特徴付けを参照）

$f$ の $\Delta (a,R)$ 上でのテイラー展開を $\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-a)^n$ とおく。このとき $$\begin{aligned} &|f(a)|^2\\ &= |c_0|^2\\ &\leqq |c_0|^2 + \sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2 R^{2n}\\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(a+Re^{i\theta})|^2 d\theta &(\text{Gutzumer の不等式})\\ &\leqq \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sup_{z \in \Delta (a,R)} |f(z)|^2 d\theta\\ &= |f(a)|^2 \end{aligned}$$ である。（Gutzumer の不等式については リーマンの可除特異点定理 を参照）

まとめると $$|c_0|^2 \leqq |c_0|^2 + \sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2 R^{2n} = |c_0|^2$$ である。よって $\Delta (a,R)$ 上で $c_n=0 \; (n=1,2,\cdots)$ である。

すなわち $\Delta (a,R)$ 上で $f(z) = c_0$ を得る。

一致の定理より $D$ 全体で $f(z) = c_0$ となる。

$\overline{D}$ は $\mathbb{C} \simeq \mathbb{R}^2$ 上の有界閉集合である。

また $|f|$ は $\overline{D}$ 上の実数値連続関数である。

よって 最大値・最小値の定理 より $|f|$ は $\overline{D}$ 上で最大値を持つ。

$|f|$ は $D$ 上で最大値を取らないため，最大値を取る点は $\partial D$ 上にある。

仮定より $f$ は $\displaystyle f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n z^n$ と級数展開することができる。

$$g(z) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n z^{n-1} = \begin{cases} \dfrac{f(z)}{z} &(z \neq 0)\\ c_1 &(z=0) \end{cases}$$ とおくと $g$ は $\Delta$ 上の正則関数である。

正数 $r \; (< 1)$ を任意にとる。

$0 < z \leqq r$ を満たす $z$ について最大値の原理により $$\begin{aligned} |g(z)| &\leqq \max \{ |g(\zeta)| ; |\zeta| = r \}\\ &= \max \left\{ \dfrac{|f(r)|}{r} ; |\zeta| = r \right\}\\ &\leqq \dfrac{1}{r} \end{aligned}$$ が成り立つ。$r \to 1$ とすることで $|g(z)| \leqq 1$ を得る。

前半

1. $|f'(0)| \leqq 1$ の証明

$$\begin{aligned} |f' (0)| &= \left| \left. \sum_{n=1}^{\infty} n c_n x^{n-1} \right|_{z=0} \right|\\ &= |c_1|\\ &= |g(0)|\\ &\leqq 1 \end{aligned}$$

2. $|f(z)| \leqq |z|$ の証明

$z \neq 0$ のとき $|f(z)| = |z| |g(z)| \leqq |z|$ である。

$z=0$ のとき $|f(0)| = 0 = |z| \mid_{z=0}$ である。

こうして任意の $z \in \Delta$ で $|f(z)| \leqq |z|$ である。

後半

1. 1つ目の条件を満たすとき
   $|g(0)| = |f'(0)| = 1$ より $|g|$ は $\Delta$ の内部で最大値を取る。

2. 2つ目の条件を満たすとき
   $|g(z_0)| = \left| \dfrac{f(z_0)}{z_0} \right| = 1$ より $|g|$ は $\Delta$ の内部で最大値を取る。

以上より最大値の原理から $|g|$ は定数関数，特に $|g| = 1$ となる。

よって，実数 $\theta$ により $g = e^{i\theta}$ と表され $f(z) = e^{i\theta} z$ を得る。

$f(z)$ を有界な整関数とする。

このときある定数 $M$ があって，任意の複素数 $z$ で $|f(z)| < M$ である。

1. シュワルツの補題を当てはめるために関数を用意する。

$R$ を任意の正の実数とする。$g$ を $$g(w) := \dfrac{f(Rw)-f(0)}{2M}$$ と定める。

このとき $$\begin{aligned} g(0) &= \dfrac{f(0)-f(0)}{2M}\\ &= 0\\ |g(w)| &= \left| \dfrac{f(Rw)-f(0)}{2M} \right|\\ &\leqq \dfrac{|f(Rw)| + |f(0)|}{2M}\\ &\leqq \dfrac{M+M}{2M}\\ &=1 \end{aligned}$$ と計算されるため，シュワルツの補題の仮定を満たす。

よって $w \in \Delta$ において $|g(w)| \leqq |w|$ が成り立つ。

2. $f$ を $g$ の不等式に適用する。

$|z| < R$ なる任意の複素数 $z$ を取る。

$\dfrac{z}{R} \in \Delta$ であるため，$w = \dfrac{z}{R}$ とおきて不等式を用いると $$|f(z) - f(0)| \leqq \left| \dfrac{2Mz}{R} \right|$$ を得る。

$R$ は任意に取れたため，$R \to \infty$ で $|f(z) - f(0)| \to 0$ となる。

こうして $f(z) = f(0)$ が成り立ち，$f$ は定数関数であることが示された。