有名不等式 e^π > π^e の証明

左辺を $e$ だけ，右辺を $\pi$ だけの式に変形できたら簡単に議論ができそうです。

そこで各辺を $\dfrac{1}{e\pi}$ 乗すると，証明すべき式は $$e^{\frac{1}{e}} > \pi^{\frac{1}{\pi}}$$ となります。

さらに対数を取ると $$\dfrac{\log e}{e} > \dfrac{\log \pi}{\pi}$$ となります。

この不等式を示すには，関数 $\dfrac{\log x}{x}$ の増減を調べればよさそうです。

参考

nのn乗根の最大項と極限

マクローリン展開にまつわる指数関数の不等式 に $$e^x \geqq x+1$$ というものがありました。

$x=\pi$ を代入すると $e^{\pi}$ が左辺に登場しますが，$\pi + 1$ を $\pi^e$ にするのは少々難しそうです。そこで代入する数を工夫してみます。

左辺 $e^{\pi}$ は ゲルフォントの定数 といわれます。

実際に値を求めると $e^{\pi} = 23.14069263277926\cdots$ となります。

$e^{\pi} - \pi = 19.99909997918947 \cdots$ です。これは「無理数だがほとんど整数」です。

超越数であること

ゲルフォントの定数は 超越数 です。これは ゲルフォント＝シュナイダーの定理 で証明されます。

ゲルフォントの定数は， $$e^{\pi} = (e^{i\pi})^{\frac{1}{i}} = (e^{i\pi})^{-i} = (-1)^{-i}$$ となります。定理において $\alpha = -1 , \beta = -i$ とおくことで，$e^{\pi}$ が超越数であることが示されます。

東大入試との関連

1999年東大理系第6問にこのような問題があります。

この積分を計算すると $\dfrac{2}{5} (e^{\pi}-1)$ になります。よってこの問いは「$e^{\pi} > 21$ を示せ」と読みかえられます。

詳しい証明は 一次近似の意味とよく使う近似公式一覧 に書いています。