有名不等式 e^π > π^e の証明

更新 2023/04/03

問題

$e^{\pi} > \pi^e$ を証明せよ。

この記事では有名な不等式 $e^{\pi} > \pi^e$ の証明を紹介します。

証明1：微分による証明

左辺を eee だけ，右辺を π\piπ だけの式に変形できたら簡単に議論ができそうです。
そこで各辺を 1eπ\dfrac{1}{e\pi}eπ1​ 乗すると，証明すべき式は
e1e>π1π
e^{\frac{1}{e}} > \pi^{\frac{1}{\pi}}
ee1​>ππ1​
となります。
さらに対数を取ると
log⁡ee>log⁡ππ
\dfrac{\log e}{e} > \dfrac{\log \pi}{\pi}
eloge​>πlogπ​
となります。
この不等式を示すには，関数 log⁡xx\dfrac{\log x}{x}xlogx​ の増減を調べればよさそうです。
証明
示すべき不等式の両辺の対数を取って変形することで
log⁡ee>log⁡ππ
\dfrac{\log e}{e} > \dfrac{\log \pi}{\pi}
eloge​>πlogπ​
を示せばよいことがわかる。
f(x)=log⁡xxf(x) = \dfrac{\log x}{x}f(x)=xlogx​ とおく。
f′(x)=x(log⁡x)′−(x)′log⁡xx2=1−log⁡xx2\begin{aligned}
f' (x) &= \dfrac{x (\log x)' - (x)' \log x}{x^2}\\
&= \dfrac{1- \log x}{x^2}
\end{aligned}f′(x)​=x2x(logx)′−(x)′logx​=x21−logx​​
よって増減表は
x0⋯e⋯f′(x)+0−f(x)↗max⁡↘
\begin{array}{|c|cccc|} 
\hline
x & 0 & \cdots & e & \cdots\\ 
\hline 
f'(x) && + & 0 & - \\ 
\hline 
f (x) && \nearrow& \max &\searrow\\
\hline
\end{array} 
xf′(x)f(x)​0​⋯+↗​e0max​⋯−↘​​
となる。
ゆえに
f(e)>f(π)f(e) > f(\pi)f(e)>f(π)
となる。
こうして
log⁡ee>log⁡ππ
\dfrac{\log e}{e} > \dfrac{\log \pi}{\pi}
eloge​>πlogπ​
が示され，eπ>πee^{\pi} > \pi^eeπ>πe が従う。
参考
nのn乗根の最大項と極限

              対数を取らずに議論をしたら……？
            
対数を取らずに x1xx^{\frac{1}{x}}xx1​ を考えることもできます。
しかし，この関数を微分をする場合，対数微分法 を用いるのが自然で，結局 log⁡xx\dfrac{\log x}{x}xlogx​ を考えるのと同じです。

証明2：マクローリン型不等式を応用する証明

マクローリン展開にまつわる指数関数の不等式に $e^x \geqq x+1$ というものがありました。

$x=\pi$ を代入すると $e^{\pi}$ が左辺に登場しますが， $\pi + 1$ を $\pi^e$ にするのは少々難しそうです。そこで代入する数を工夫してみます。

証明

正の実数 $x$ に対して $e^{x} > x+1$ が成立する。

(証明)

$x > 0$ に対して $f(x) = e^{x} - x -1$ とすると $f'(x) = e^x - 1 \geqq 0$ であるため， $f$ は単調に増加する。

ゆえに $f(x) > f(0) = 0$ となる。

こうして $e^x > x+1$ である。(終)

この不等式に $x=\dfrac{\pi}{e} - 1$ を代入すると $e^{\frac{\pi}{e} - 1} > \dfrac{\pi}{e}$ を得る。これを変形して $e^{\pi} > \pi^e$ を得る。

ゲルフォントの定数

左辺 $e^{\pi}$ はゲルフォントの定数といわれます。

実際に値を求めると $e^{\pi} = 23.14069263277926\cdots$ となります。

$e^{\pi} - \pi = 19.99909997918947 \cdots$ です。これは「無理数だがほとんど整数」です。

超越数であること

ゲルフォントの定数は超越数です。これはゲルフォント＝シュナイダーの定理で証明されます。

ゲルフォント＝シュナイダーの定理

$\alpha$ を $0,1$ とは異なる代数的数， $\beta$ を有理数ではない代数的数とする。このとき $\alpha^{\beta}$ は超越数である。

ゲルフォントの定数は， $e^{\pi} = (e^{i\pi})^{\frac{1}{i}} = (e^{i\pi})^{-i} = (-1)^{-i}$ となります。定理において $\alpha = -1 , \beta = -i$ とおくことで， $e^{\pi}$ が超越数であることが示されます。

東大入試との関連

1999年東大理系第6問にこのような問題があります。

問題

$\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\sin^2xdx > 8$ を示せ。ただし， $\pi=3.14\cdots$ ， $e=2.71\cdots$ である。

この積分を計算すると $\dfrac{2}{5} (e^{\pi}-1)$ になります。よってこの問いは「 $e^{\pi} > 21$ を示せ」と読みかえられます。

詳しい証明は一次近似の意味とよく使う近似公式一覧に書いています。

他にもスマートな証明があったら教えてください。