超越数の意味といくつかの例
更新
超越数とは,代数方程式の解ではない数のこと。
超越数の意味と例を紹介します。例として が超越数であることの証明も説明します。
超越数とは
超越数とは
- 「有理数係数多項式 」という形の方程式を代数方程式と言います。
- つまり,複素数 が超越数であるとは,どのような有理数係数多項式
(各 は有理数で, でない が存在)
に対しても であるという意味です。
- 有理数は超越数ではありません。有理数 は という一次方程式の解だからです。
- 無理数でも超越数とは限りません。例えば は という二次方程式の解なので超越数ではありません(二次方程式の解である無理数を二次の無理数と言います)。無理数と超越数を混同する人が多いので注意して下さい。
超越数の例
超越数の例
- 自然対数の底 (証明は後述)
- 円周率
- でない代数的数 に対する
(この二つが超越数であることは,リンデマンの定理という飛び道具から分かる) - (ゲルフォントの定数)
(この二つが超越数であることは,ゲルフォント=シュナイダーの定理という飛び道具から分かる) - リウヴィル数
- チャンパーノウン定数
eが超越数であることの証明
eが超越数であることの証明
自然対数の底eが超越数であることの証明は簡単ではありませんが,一応高校数学のみで理解できます。概略を紹介します。 The Transcendence of e and πを参考にしました。
が超越数でないと仮定する。
このとき,うまく整数 を選ぶと
とできる(*)。
次に,十分大きい素数 を用いて , とおき, という数を考える。
が十分大きいとき,以下の不等式1,2は矛盾する(階乗の方が指数関数より強い)。よって背理法により は超越数である。
1.
証明: の次数を とおく。 は指数関数× 次式の積分なので 回部分積分すれば計算できる。結果は,
となる。よって,
ここで,第一項は(*)より になる。
また,ライプニッツルールを用いて を実際に計算すると, のときは となり,残りは の倍数( も含む)となる。
よって, は の倍数であり, の倍数ではない。
2. より大きい( には依存しない)実数 が存在して,
証明: の定義より, のとき
これと の定義より, のとき
これと の定義より,
とすると,これは によらない定数であり, となる。
eが無理数であることの証明よりだいぶ難しいです。
リンデマンの定理とゲルフォント=シュナイダーの定理
リンデマンの定理とゲルフォント=シュナイダーの定理
先ほど少し紹介したリンデマンの定理とゲルフォント=シュナイダーの定理を紹介します。証明はガロア理論が必要なので省きます。
リンデマンの定理
を相異なる代数的数とする。
を満たす代数的数の組 は のみである。
また,次の簡易版リンデマンの定理が知られています。
代数的数 に対して, は超越数である。
先ほどの例を振り返ってみましょう。
- より は超越数です。
- でない代数的数 に対して, が代数的数と仮定しましょう。
オイラーの公式 より です。
移項することで となりますが,リンデマンの定理で としたときに反します。
よって は超越数です。 - 代数的数 に対して は超越数です。 と背理法により従います。
ゲルフォント=シュナイダーの定理
を ではない代数的数, を有理数ではない代数的数とする。
このとき は超越数である。
- 定理より は超越数です。
- となります。定理において とおくことで, が超越数であることが示されます。
「ゲルフォントシュナイダー」という名前,かっこいいですね。