超越数の意味といくつかの例

$e$ が超越数でないと仮定する。

このとき，うまく整数 $r,a_0\:(\neq 0),a_1,\cdots,a_r$ を選ぶと

$a_0+a_1e+a_2e^2+\cdots +a_re^r=0$ とできる(*)。

次に，十分大きい素数 $p$ を用いて $f(x)=x^{p-1}(x-1)^p(x-2)^p\cdots (x-r)^p$ ，$I(t)=\displaystyle\int_0^te^{t-u}f(u)du$ とおき，$J=a_0I(0)+a_1I(1)+\cdots +a_rI(r)$ という数を考える。

$p$ が十分大きいとき，以下の不等式1，2は矛盾する（階乗の方が指数関数より強い）。よって背理法により $e$ は超越数である。

1． $|J|\geq (p-1)!$

証明： $f(x)$ の次数を $n=(r+1)p-1$ とおく。 $I(t)$ は指数関数× $n$ 次式の積分なので $n$ 回部分積分すれば計算できる。結果は，$I(t)=e^t\displaystyle\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0)-\sum_{j=0}^nf^{(j)}(t)$

となる。よって，

$J=\displaystyle\sum_{t=0}^ra_tI(t)\\ =\displaystyle\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0)\sum_{t=0}^ra_te^t-\sum_{t=0}^r\sum_{j=0}^na_t\:f^{(j)}(t)$

ここで，第一項は(*)より $0$ になる。

また，ライプニッツルールを用いて $f^{(j)}(t)$ を実際に計算すると，$j=p-1,\;t=0$ のときは $(p-1)!(-1)^{rp}(r!)^p$ となり，残りは $p!$ の倍数（$0$ も含む）となる。

よって，$J$ は $(p-1)!$ の倍数であり，$p!$ の倍数ではない。

2． $1$ より大きい（$p$ には依存しない）実数 $c$ が存在して，$|J| \leq c (r^{r+1})^p$

証明： $f(x)$ の定義より，$0\leq x\leq r$ のとき $|f(x)|\leq r^{(r+1)p}$

これと $I(t)$ の定義より，$0\leq t\leq r$ のとき $I(t) \leq te^tr^{(r+1)p}$

これと $J$ の定義より， $$|J| \leq (a_1 e^1 + 2a_2 e^2 + \cdots ra_r e^r) r^{(r+1) p}$$

$c = (a_1 e^1 + 2a_2 e^2 + \cdots ra_r e^r)$ とすると，これは $p$ によらない定数であり， $|J| \le c \cdot (r^{r+1})^p$ となる。