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超越数の意味といくつかの例

更新日時 2021/03/07

代数方程式の解ではない数のことを超越数と言う。

目次
  • 超越数とは

  • 超越数の例

  • eが超越数であることの証明

超越数とは

  • 超越数とは代数方程式の解ではない数です。つまり, aa が超越数     \iff どんな有理数係数多項式 f(x)f(x) を持ってきても,f(a)0f(a)\neq 0です。
  • 有理数は超越数ではありません。 qp\dfrac{q}{p}pxq=0px-q=0 という一次方程式の解だからです。
  • 無理数でも超越数とは限りません。例えば 2\sqrt{2}x22=0x^2-2=0 という二次方程式の解なので超越数ではありません(二次方程式の解である無理数を二次の無理数と言います)。無理数と超越数を混同する人が多いので注意して下さい。

超越数の例

  • 自然対数の底 ee(証明は後述)
  • 円周率 π\pi
  • 00 でない代数的数 θ\theta に対する sinθ,cosθ,tanθ\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta

(この二つはリンデマンの定理という飛び道具から分かる)

  • 222^{\sqrt{2}}
  • eπe^{\pi}

(この二つはゲルフォント–シュナイダーの定理という飛び道具から分かる)

eが超越数であることの証明

自然対数の底eが超越数であることの証明は簡単ではありませんが,一応高校数学のみで理解できます。概略を紹介します。 The Transcendence of e and πを参考にしました。

証明の概略

ee が超越数でないと仮定する。

このとき,うまく整数 r,a0(0),a1,,arr,a_0\:(\neq 0),a_1,\cdots,a_r を選ぶと

a0+a1e+a2e2++arer=0a_0+a_1e+a_2e^2+\cdots +a_re^r=0 とできる(*)。

次に,十分大きい素数 pp を用いて f(x)=xp1(x1)p(x2)p(xr)pf(x)=x^{p-1}(x-1)^p(x-2)^p\cdots (x-r)^pI(t)=0tetuf(u)duI(t)=\displaystyle\int_0^te^{t-u}f(u)du とおき,J=a0I(0)+a1I(1)++arI(r)J=a_0I(0)+a_1I(1)+\cdots +a_rI(r) という量を考える。

pp が十分大きいとき,以下の不等式1,2は矛盾する(階乗の方が指数関数より強い)。よって背理法により ee は超越数である。

1. J(p1)!|J|\geq (p-1)!

理由: f(x)f(x) の次数を n=(r+1)p1n=(r+1)p-1 とおく。 I(t)I(t) は指数関数× nn 次式の積分なので nn 回部分積分すれば計算できる。結果は,I(t)=etj=0nf(j)(0)j=0nf(j)(t)I(t)=e^t\displaystyle\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0)-\sum_{j=0}^nf^{(j)}(t)

となる。よって,

J=t=0ratI(t)=j=0nf(j)(0)t=0ratett=0rj=0natf(j)(t)J=\displaystyle\sum_{t=0}^ra_tI(t)\\ =\displaystyle\sum_{j=0}^nf^{(j)}(0)\sum_{t=0}^ra_te^t-\sum_{t=0}^r\sum_{j=0}^na_t\:f^{(j)}(t)

ここで,第一項は(*)より 00 になる。

また,ライプニッツルールを用いて f(j)(t)f^{(j)}(t) を実際に計算すると,j=p1,  t=0j=p-1,\;t=0 のときは (p1)!(1)rp(r!)p(p-1)!(-1)^{rp}(r!)^p となり,残りは p!p! の倍数(00 も含む)となる。

よって,JJ(p1)!(p-1)! の倍数であり,p!p! の倍数ではない。

2. 11 より大きい(pp には依存しない)実数 cc が存在して,Jcp|J| \leq c^p

理由: f(x)f(x) の定義より,0xr0\leq x\leq r のとき f(x)r(r+1)p|f(x)|\leq r^{(r+1)p}

これと I(t)I(t) の定義より,0tr0\leq t\leq r のとき I(t)tetr(r+1)pI(t) \leq te^tr^{(r+1)p}

これと JJ の定義より,J|J|\leq

pp によらない定数 (rr+1)p\cdot (r^{r+1})^p

eが無理数であることの証明よりだいぶ難しいです。

「ゲルフォントシュナイダー」という名前,かっこいいですね。

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