リウヴィル数の具体例と性質

上記のような数は $1\leq a_k\leq 9$ なる $a_k$ を用いて $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{a_k}{10^{k!}}$ と書ける。

これを $k=n$ までで打ち切った有理数を $\dfrac{p}{q}$ とする。具体的には，

$q=10^{n!}$，$p=10^{n!}\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{10^{k!}}$

とする。

すると，簡単な計算（→補足）により

$\left|r-\dfrac{p}{q}\right|=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{a_k}{10^{k!}}$

が $\dfrac{1}{q^n}$ 未満であることが分かる。

$r=\dfrac{p_0}{q_0}$ （ただし $p_0$ は整数 $q_0$ は正の整数）がリウヴィル数でないことを証明する。

$q_0\leq 2^{n-1}$ となるような十分大きい $n$ に対して，

$0< \left|r-\dfrac{p}{q}\right| < \dfrac{1}{q^n}$

となる $p,q$ が存在しないことを示せばよい。

実際，

$\left|r-\dfrac{p}{q}\right|=\dfrac{|p_0q-q_0p|}{q_0q}$

は $0$ であるか，または，$\dfrac{1}{q_0q}$ 以上である。

そして，$\dfrac{1}{q_0q}\geq \dfrac{1}{2^{n-1}q}\geq\dfrac{1}{q^n}$ である。