チャンパーノウン定数

まずは，チャンパーノウン定数の $N$ ケタ目の求め方を具体例で考えてみます。

群数列っぽい問題ですね。入試に出そうな難易度です。

チャンパーノウン定数は，定義より $C=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{10^{a_n}}$ と表せます。ただし，$a_n$ は「$1$ から $n$ までのケタ数の総和」です。

$a_n$ を明示的な式で表してみます。$a_n$ は $n$ のケタ数によって様子が変わるので，和を取る範囲をケタ数 $D$ で区切ってみます： $$C=\displaystyle\sum_{D=1}^{\infty}\sum_{n=10^{D-1}}^{10^{D}-1}\dfrac{n}{10^{a_n}}$$ $d$ ケタの正の整数のケタ数の総和は，$d\times 9\times 10^{d-1}$ なので，$D$ ケタ未満の正の整数のケタ数の総和は，$\displaystyle\sum_{d=1}^{D-1}d\times 9\times 10^{d-1}$ です。

よって，$n$ が $D$ ケタのとき，$$a_n=\displaystyle\sum_{d=1}^{D-1}\left(d\times 9\times 10^{d-1}\right)+(n-10^{D-1}+1)\times D$$ となります。紫の式を2つ合わせると，チャンパーノウン定数がシグマ3つを使って表せることがわかりました。

証明には「循環小数で表せないなら無理数」という定理を使います。→循環小数の意味と分数で表す方法など

• チャンパーノウン定数は超越数であることが知られています。超越数とは代数方程式の解ではない数のことです。→超越数の意味といくつかの例

• チャンパーノウン定数は正規数であることが知られています。正規数とは「どんな数字列も偏りなく現れる」ような無限小数のことです。きちんとした定義は，以下です。

例えば，$s=6$ とすると「$C$ の最初の $L$ ケタに $6$ が現れる回数は $\dfrac{1}{10}$ に収束する」という意味です。$s=314$ とすると「$C$ の最初の $L$ ケタに $314$ が現れる回数は $\dfrac{1}{1000}$ に収束する」という意味です。このような式がすべての $s$ について成立するのが正規数です。

参考：The Constant of Champernowne(外部PDF)