オイラー法をわかりやすく解説

$\dfrac{dx}{dt}=-2x$ のように，$\dfrac{dx(t)}{dt}=f(x(t),t)$ という形の方程式を考えます。未知関数 $x(t)$ を求めるのが目標です。ただし，$t=t_0$ での $x$ の値 $x_0$ は分かっているものとします。

• 未知関数 $x(t)$ の導関数 $\dfrac{dx(t)}{dt}$ を含む方程式，つまり微分方程式です。
• $t=t_0$ における値 $x_0$ が分かっているこのような問題を初期値問題と言います。
• 例1は解けましたが，$f(x,t)$ の形によっては厳密解を書けるとは限りません。そこで，数値的に解く問題を考えます。つまり，いろいろな $t$ における $x$ の値をコンピュータでできるだけ正確に計算したいという状況です。

$h$ は刻み幅と呼ばれる正の数で，事前に設定しておきます。この漸化式の意味はあとで説明するとして，まずはさきほどの例1で試してみます。

※例1では一般項がきれいに書けましたが，多くの場合漸化式は解けません。コンピュータを使って $x_1,x_2,\dots$ と近似値を1つずつ計算していくことになります。

次に，前進オイラー法の漸化式を導出します。

前進オイラー法：$x_{n+1}=x_n+hf(x_n,t_0+nh)$ との違いは，右辺で $f(x_n,t_n)$ のかわりに $f(x_{n+1},t_{n+1})$ を使う点のみです（ただし，$t_n=t_0+nh$ と置きました）。

導出イメージも前進オイラー法とほぼ同じですが，紫文字の部分が異なります。つまり，右辺を $x=x_n,\:t=t_n$ のときの値で代用するのではなく，$x=x_{n+1},\:t=t_{n+1}$ のときの値で代用します。

• 前進オイラー法：$x_{n+1}=x_n+hf(x_n,t_n)$ は右辺に $x_{n+1}$ を含まないので，$x_n$ がわかれば右辺を計算することで確実に $x_{n+1}$ を計算できるので嬉しいです。このような解法を陽解法と言います。前進オイラー法は陽的オイラー法と呼ばれることもあります。

• 後退オイラー法：$x_{n+1}=x_n+hf(x_{n+1},t_{n+1})$ は右辺にも $x_{n+1}$ を含むので，$x_n$ がわかっても $x_{n+1}$ を計算するのに苦労する場合があります。例1では「$x_{n+1}=x_n$ の式」という形に変形できましたが，一般には方程式を解いて $x_{n+1}$ を求める必要があります。このような解法を陰解法と言います。後退オイラー法は陰的オイラー法と呼ばれることもあります。

「安定」の意味を説明します。

まず，例1における厳密解は $x(t)=3e^{-2t}$ でした。$t\to\infty$ で $x(t)\to 0$ です。

• 前進オイラー法による近似解は $x_n=3(1-2h)^{n-1}$ でした。$0<h\leq\dfrac{1}{2}$ なら $x_n\to 0$ ですが，$h>\dfrac{1}{2}$ の場合発散してしまいます。より一般に，任意の $\lambda <0$ に対して $\dfrac{dx}{dt}=\lambda x$ の近似解は，刻み幅 $h$ が大きいと発散してしまうという意味で前進オイラー法は不安定です。

• 後退オイラー法による近似解は $x_n=\dfrac{3}{(1+2h)^{n-1}}$ です。任意の正の実数 $h$ に対して $x_n\to 0$ です。より一般に，$\lambda <0$ に対して $\dfrac{dx}{dt}=\lambda x$ の近似解が刻み幅 $h$ によらず $0$ に収束するという意味で後退オイラー法は安定です。

$h$ が大きいときでも後退オイラー法は収束しますが，前進オイラー法は発散してしまうわけです。ちなみに例1において，どちらも $h\to 0$ で近似解は厳密解に収束します。以下のように大学入試で出そうな極限計算で確認できます。

ただし，$h$ が $0$ に近いと計算するステップ数が増えてしまうので計算に時間がかかります。