体の基礎用語～拡大体と拡大次数

更新 2022/12/16

足し算・引き算・掛け算・割り算ができるような代数系を体（たい）という。

和と積が計算できる対象のことを環というのでした。

この記事では，実数や複素数のように，商も計算できる対象「体」について解説します。

定義

体とは大雑把に言うと「割り算が計算できる環」です。つまり「逆数が存在する環」です。もう少し厳密に定義します。

定義（可逆元）

環 $R$ の元 $x$ が可逆元であるとは，乗法についての逆元 $x^{-1}$ （すなわち $x^{-1} x = x x^{-1} = 1$ となる元）が存在することを意味する。

$\mathbb{Z}$ の可逆元は $\pm 1$ のみです。
$\mathbb{Q}$ は $0$ 以外の全ての元が可逆元です。
$\mathbb{Z} (\sqrt{2}) = \{ m + n\sqrt{2} \mid m,n \in \mathbb{Z} \}$ の可逆元は $(1 \pm \sqrt{2})^n$ と表される元となります。
実際 $(1+\sqrt{2})^n (\sqrt{2}-1)^n = (2 - 1)^n = 1$ となります。

定義（体）

$F$ が次の2つの条件を満たすとき，体と呼ぶ。

$F$ は環である。
$F$ の $0$ を除く全ての元が可逆元である。

具体例

身近な例体として身近なものに 有理数・実数・複素数 があります。それぞれ Q\mathbb{Q}Q・R\mathbb{R}R・C\mathbb{C}C と表記します。
Q\mathbb{Q}Q に 2\sqrt{2}2​ を添加した体：M={p+q2∣p,q∈Q}M = \{ p+q\sqrt{2} \mid p,q \in \mathbb{Q} \}M={p+q2​∣p,q∈Q} もまた体になります。
割り算できることの確認
MMM の 000 でない元 p+q2p+q\sqrt{2}p+q2​ の逆元を探してみましょう。
1p+q2\dfrac{1}{p+q\sqrt{2}}p+q2​1​ を有理化すると p−q2p2+2q2\dfrac{p - q\sqrt{2}}{p^2+2q^2}p2+2q2p−q2​​ となります。
pp2+2q2,qp2+2q2∈Q\dfrac{p}{p^2+2q^2} , \dfrac{q}{p^2+2q^2} \in \mathbb{Q}p2+2q2p​,p2+2q2q​∈Q なのでこれは MMM の元です。
商体（整域である）環 RRR について
{mn∣m,n∈R,n≠0}\left\{ \dfrac{m}{n} \mid m,n \in R , n \neq 0 \right\}{nm​∣m,n∈R,n=0}
によって定まる集合は体になります。これをRRR の商体といいます。
Q\mathbb{Q}Q は Z\mathbb{Z}Z の商体です。

              整域とは
            
環 RRR の元 x,yx,yx,y に対して xy=0xy = 0xy=0 であれば，xxx か yyy が 000 となるとき，RRR を整域といいます。
Z\mathbb{Z}Z は整域です。一方，Z/6Z\mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}Z/6Z は 2×3=02 \times 3 = 02×3=0 なので整域ではありません。
有理式の集合多項式の集合は環を成します。→ 環の定義とその具体例
実数変数の多項式環を R[x]\mathbb{R} [x]R[x] と書くのでした。
R(x)\mathbb{R} (x)R(x) を有理式の集合，すなわち

R(x)={f(x)g(x)∣f,g∈R[x],g≠0}
\mathbb{R} (x) = \left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)} \mid f,g \in \mathbb{R} [x] , g \neq 0 \right\}
R(x)={g(x)f(x)​∣f,g∈R[x],g=0}
を表します。
これは多項式環の商体です。
非可換体環と同様に非可換な体を考えることができます。斜体ということもあります。
四元数全体の集合 H\mathbb{H}H は非可換体です。→四元数と三次元空間における回転
有限体元の個数が有限である体を有限体といいます。
特に重要なものとして，元の個数が素数 ppp である Fp\mathbb{F}_pFp​ があります。
Fp\mathbb{F}_pFp​ での演算は，mod\mathrm{mod}mod での演算となります。→ 合同式(mod)の意味とよく使う６つの性質
より詳しくは 有限体（ガロア体）の基本的な話 も参照してください。

拡大体と拡大次数

以下，この記事では可換体について考えます。可換体に対する部分体・拡大体・拡大次数について説明します。

拡大体

可換体においては，拡大体の考えが重要です。

定義（拡大体・部分体）

体 $L$ の部分集合 $K$ が次の条件を満たすとき， $K$ を $L$ の部分体という。

$K$ は $L$ の加法・乗法で体となる。
$K$ は $L$ の乗法の単位元を含む。

また，このとき $L$ を $K$ の拡大体といい $L / K$ と書く。

体 $M$ が $K$ の拡大体であり， $L$ の部分体であるとき， $M$ を $L/K$ の中間体という。

例えば $\mathbb{R}$ は $\mathbb{Q}$ の拡大体であり，さきほど登場した $M = \{ p+q\sqrt{2} \mid p,q \in \mathbb{Q} \}$ は， $\mathbb{R} / \mathbb{Q}$ の中間体です。

中間体のなかでも特に重要なものが「元を添加した体」です。

定義（添加した体）

体 $L$ を体 $K$ の拡大体とする。

$L \backslash K$ の部分集合 $A$ に対して， $A$ を含む最小の中間体を $A$ を添加した体といい， $K(A)$ と表す。

$A$ が有限集合 $\{ \alpha_1 , \cdots , \alpha_n \}$ であるとき，単に $K (\alpha_1 , \cdots , \alpha_n)$ と書く。

例えば， $M = \{ p+q\sqrt{2} \mid p,q \in \mathbb{Q} \}$ は $\mathbb{Q}$ に $\sqrt{2}$ を添加した体 $\mathbb{Q} (\sqrt{2})$ です。なぜなら，

$M$ は $\mathbb{Q}$ の拡大体で $\mathbb{R}$ の部分体です。つまり， $\sqrt{2}$ を含む中間体です。
また， $M$ は $\sqrt{2}$ を含む中間体の中で最小です（ $p+q\sqrt{2}$ という形のすべての元を入れないと $\sqrt{2}$ を含む体にはならない）。

では $\mathbb{Q}$ に $\sqrt[3]{2}$ を添加した体 $\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2})$ はどのようになるのでしょうか。

$\mathbb{Q} (\sqrt{2})$ と同様に $\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}) = \{ p+q\sqrt[3]{2} \mid p,q \in \mathbb{Q}\}$ となりそうですが，実は不十分です。 $(\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$ という元も含める必要があります。

実は， $\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}) = \{ p + q \sqrt[3]{2} + r \sqrt[3]{4} \mid p,q,r \in \mathbb{Q} \}$ となります。

拡大次数

定義（拡大次数）

拡大体 $L/K$ に対して拡大次数とは， $L$ を $K$ のベクトル空間と見たときの次元を指す。

これを $[L:K]$ で表す。

例

例：実数と複素数

$\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ の拡大体です。

$\mathbb{C} = \{ x+yi \mid x,y \in \mathbb{R} \}$ であることから， $\mathbb{C}$ は2次元実ベクトル空間です。

つまり $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$ です。

例：有理数と添加した体

先ほど紹介したように

$\mathbb{Q} (\sqrt{2})$ は $\mathbb{Q}$ の拡大体です。また $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2$ です。
$\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}) = \{ p + q \sqrt[3]{2} + r \sqrt[3]{4} \mid p,q,r \in \mathbb{Q} \}$ より， $[\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3$ です。

有限次拡大と無限次拡大

拡大次数が有限である拡大を有限次拡大， $\infty$ である拡大を無限次拡大といいます。

これまで紹介してきた拡大はどれも有限次拡大でした。

例：無限次拡大

$\mathbb{Q}$ を $\mathbb{R}$ に拡大することを考えます。

任意の素数 $p$ について $\sqrt{p} \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ です。

$\mathbb{Q}$ に $\sqrt{p}$ をすべて添加しても $\mathbb{R}$ にはなりません。（ $\sqrt[3]{2}$ などが溢れます）

このことから $\mathbb{Q} (\sqrt{2} , \sqrt{3}, \cdots) \subset \mathbb{R}$ です。

$\mathbb{Q} (\sqrt{2} , \sqrt{3}, \cdots)$ は $\mathbb{Q}$ の無限次拡大です。これを含む $\mathbb{R}$ もまた $\mathbb{Q}$ の無限次拡大です。

拡大次数の応用

拡大次数は作図問題で活躍します。

定理

$\alpha$ を実数とする。

$\alpha$ は作図可能数 $\iff$ 拡大体 $\mathbb{Q} (\alpha)$ について，拡大次数 $[\mathbb{Q} (\alpha) , \mathbb{Q}]$ が2のべき乗になる

詳しくはギリシアの三大作図問題を読んでみてください。

拡大にも様々な種類があります。例えば， $\mathbb{R}$ から $\mathbb{C}$ に拡大するとき，代数閉体になります。代数閉になる拡大は1つの重要な拡大です。