「留数定理を用いたバーゼル問題の美しい証明」のなかで、留数定理を使って出した積分値が-π^3i となっていますが、マイナスは残らないのですが、その直前の-πilog^2(-1)からの変形を教えていただけませんか。私はπ^3i とーが消えると思うのですが。つまり、log^2(-1)＝-π^2　だと考えるんですが、おかしいでしょうか。

$\log^2(-1) = (\pi i)^2 = -\pi^2$．

だから $-\pi i\log^2(-1) = -\pi i(\pi i)^2 = \pi^3 i$ で合っています．

【補足】

$\pi^3 i$ で合っているとすると $I = \displaystyle{\int_0^1 \frac{\log x}{x^2 - 1}dx = -\frac{\pi^2}{8}}$．

つまり，被積分関数は正値のみとるのに $I < 0$ となって不合理です．

要するに記事には間違いがあります．

積分経路のとり方が問題で，正しくは写真のように極 $z = 1$ を小円弧で迂回しないといけません．

極 $z = 1$ を扱うにも $\log z$ の多価性を考慮しないといけません．

$f(z) = \log^2(z)/(z^2-1)$ は $\arg z \in [0,2\pi)$ に分岐をとると $z = 1$ で可除特異点ですが，$\arg z \in [2\pi,4\pi)$ に分岐をとると $z = 1$ で留数 $-2\pi^3$ の真の極です．

$C_3$ の方は極 $z = 1$ が上述のとおり可除特異点なので寄与 $0$．

$C_7$ の方は極 $z = 1$ が真の極なので下側に迂回した寄与は $-i\pi\mathrm{Res}_{z=1} = 2\pi^3 i$．

したがって，

$$\int_C f(z)dz = 4\pi^2\int_0^\infty\frac{dx}{x^2-1} - 4\pi i\int_0^\infty\frac{\log x}{x^2-1}dx + 2\pi^3 i．$$

この積分値は $2\pi i\mathrm{Res}_{z=-1} = \pi^3 i$ に等しいので虚部を比較して

$$\int_0^\infty \frac{\log x}{x^2-1} = \frac{\pi^2}{4}．$$

これで正しく求まります．

記事の間違いで困惑したかもしれませんが，普通に計算して $\pi^3 i$ でOkです．