対称群と交代群の基本的な性質

更新 2025/06/19

定義

$n$ 次の置換全体の集合は，置換の積に関して群を成す。これを対称群（置換群）といって， $\mathfrak{S}_n$ （ $\mathfrak{S}$ は $S$ のドイツ文字）と書く

この記事では代数学の基本である対称群（置換群）について解説します。

置換については置換の基礎（互換・偶置換・奇置換・符号の意味）を参照してください。

置換

置換の合成・巡回置換については，置換の基礎（互換・偶置換・奇置換・符号の意味） を参照してください。
ここでは記法についての軽い復習にとどめます。
記法nnn 個の元を入れ替える操作を nnn 次の置換といいます。
操作前の配列を上に，操作後の配列を下に記入することが多いです。例えば，123451234512345 を 451324513245132 に移す置換は
(1234545132)
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 5 & 1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
(14​25​31​43​52​)
と書きます。
Sn\mathfrak{S}_nSn​ の元 σ\sigmaσ について，σ(i)\sigma (i)σ(i) で iii の移り先を表します。例えば，
σ=(1234545132)
\sigma = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 5 & 1 & 3 & 2
\end{pmatrix}
σ=(14​25​31​43​52​)
の場合，σ(1)=4\sigma (1) = 4σ(1)=4，σ(3)=1\sigma (3) = 1σ(3)=1 となります。
この記法において，上の行を 1,2,3,⋯1,2,3, \cdots1,2,3,⋯ と数字順に並べる必要はありません。例えば，先ほどの σ\sigmaσ を
(3541212345)
\begin{pmatrix}
3 & 5 & 4 & 1 & 2\\
1 & 2 & 3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
(31​52​43​14​25​)
と書いてもよいです。
互換置換の元で，2つの要素だけを入れ替えるものを互換といいます。iii と jjj の入れ替える互換は (i j)(i \ j)(i j) と表します。
例えば
(1234512543)
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
1 & 2 & 5 & 4 & 3
\end{pmatrix}
(11​22​35​44​53​)
は互換になります。これは (3 5)(3 \ 5)(3 5) と書きます。
巡回置換置換のなかでも巡回的なもの，つまり
(a1a2⋯amb1⋯bka2a3⋯a1b1⋯bk)
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_m & b_1 & \cdots & b_k\\
a_2 & a_3 & \cdots & a_1 & b_1 & \cdots & b_k
\end{pmatrix}
(a1​a2​​a2​a3​​⋯⋯​am​a1​​b1​b1​​⋯⋯​bk​bk​​)
と表されるものを巡回置換といいます。
このとき簡単のために
(a1a2⋯am)
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_m
\end{pmatrix}
(a1​​a2​​⋯​am​​)
と書きます。
この記法を用いると
(1234545132)=(143)(25)\begin{aligned}
&\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
4 & 5 & 1 & 3 & 2
\end{pmatrix}\\
&= 
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}
\end{aligned}​(14​25​31​43​52​)=(1​4​3​)(2​5​)​
と書くことができます。

符号

互換の性質

定理

置換 $\sigma$ は互換の積で表される。

例

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 4 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ を互換の積で分解しましょう。

まず $2$ と $5$ が入れ替わっているため， $(2 \ 5)$ が積に現れます。

残りの部分は $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ となります。これは $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ つまり， $(1 \ 4) (3 \ 4)$ と分解されます。

よって $\sigma = (2 \ 5) (1 \ 4) (3 \ 4)$ となります。

符号

互換の積で表すことで符号という概念を定義できます。

定理

$\sigma$ が互換 $n$ 個で表されるとき， $\mathrm{sgn} \ \sigma = (-1)^n$ と定義する。

$\mathrm{sgn} \ \sigma = 1$ となる置換を偶置換， $\mathrm{sgn} \ \sigma = -1$ となる置換を奇置換という。

符号は群準同型を与えます。

定理

$\mathrm{sgn}$ は準同型 $\mathrm{sgn} : \mathfrak{S}_n \to \{ \pm 1 \}$ を与える。

交代群

定義

$n$ 次対象群の元で，偶置換全体からなる部分群を交代群といい， $\mathfrak{A}_n$ と書く。

例

$\mathfrak{A}_3$ を計算しましょう。

$\mathfrak{S}_3$ の元は

単位元： $(1)$
互換： $(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3)$
長さ3の巡回置換： $(1 \ 2 \ 3), (1 \ 3 \ 2)$

長さ3の巡回置換は各々 $\begin{aligned} (1 \ 2 \ 3) &= (1 \ 2) (2 \ 3)\\ (1 \ 3 \ 2) &= (2 \ 3) (1 \ 2) \end{aligned}$ と表されるため，偶置換です。

よって， $\mathfrak{A}_3 = \{ (1) , (1 \ 2 \ 3) , (1 \ 3 \ 2) \}$ となります。

$\mathfrak{A}_3$ は $\begin{aligned} (1) & \to 0 \mod 3\\ (1 \ 2 \ 3) & \to 1 \mod 3\\ (1 \ 3 \ 2) & \to 2 \mod 3\\ \end{aligned}$ と準同型を定めることで， $\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ と同型になります。

準同型定理

$\mathfrak{A}_n$ は， $\mathrm{sgn}$ で $1$ （単位元）に移ります。つまり $\mathfrak{A}_n = \ker \mathrm{sgn}$ となります。

また， $\{ \pm 1 \}$ は群として $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ と同型です。

これより準同型定理を用いると次の同型が得られます。

定理

$\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \simeq \mathfrak{S}_n / \mathfrak{A}_n$

位数

それぞれの位数を計算しましょう。

対称群の位数

$|\mathfrak{S}_n| = n!$

証明

$n$ 次の置換は $1$ から $n$ の並び替えと対応しているため， $n!$ である。

交代群の位数

$|\mathfrak{A}_n| = \dfrac{n!}{2}$

証明

$\phi : \mathfrak{S}_2 \to \mathfrak{S}_n$ を $\sigma \mapsto (1 \ 2) \ \sigma$ と定める。

このとき，奇置換は偶置換に，偶置換は奇置換に移る。また，これは全単射である。

単射 $(1 \ 2) \ \sigma = (1 \ 2) \ \tau$ と仮定する。辺々に左から $(1 \ 2)$ を掛けることで $\sigma = \tau$ を得る。
全射
$\sigma$ を任意に取る。 $\phi ( (1\ 2) \ \sigma) = (1 \ 2 ) \ (1\ 2) \ \sigma = \sigma$ より全射である。

よって，偶置換と奇置換は同数あるため，元の個数は $|\mathfrak{S}_n|$ の半分である。

別証明

準同型定理 $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \simeq \mathfrak{S}_n / \mathfrak{A}_n$ より $|\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}| \times |\mathfrak{A}_n| = |\mathfrak{S}_n|$ を得る。

よって $|\mathfrak{A}_n| = \dfrac{|\mathfrak{S}_n|}{|\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}|} = \dfrac{n!}{2}$ である。

対称群は基本的な群で，様々な良い性質を持ちます。