単項式・多項式や次数・係数などの定義と問題例

更新日時 2021/02/24

数や文字の乗法のみを用いて表せる式を単項式という。

単項式の和の形で表せる式を多項式という。

単項式,多項式という言葉を数学でよく見かけると思います。この記事では,これらの用語の定義を確認します。理解を深めるための問題も解説します。

目次
  • 係数・次数・定数項・降べき・昇べきの順とは?

  • 単項式に関する問題例

  • 多項式に関する問題例

係数・次数・定数項・降べき・昇べきの順とは?

まず,単項式や多項式に関連する数学用語の定義を確認します。

単項式についての用語の定義

単項式の数の部分を係数と言います。また,単項式において,かけられている文字の個数をその単項式の次数と言います。

例えば,2x3yz22x^3y z^2 という単項式においては,22 が係数です。また,xx が3個,yy が1個,zz が2個かけられているので,3+1+2=63+1+2 = 666 が次数となります。

次数が 22 である式を二次式,次数が 33 である式を三次式,一般に次数が nn である式を nn次式 と呼びます。

多項式についての用語の定義

多項式を構成しているそれぞれの単項式をと呼びます。多項式の各項の次数の中で,最も大きい次数を多項式の次数と言います。

さらに,数の部分のみからなる項は定数項と呼ばれます。

例えば,6x2y5z+xy4z2+x+1-6x^2 y^5 z+xy^4 z^2 +x + 1 という多項式において,6x2y5z,xy4z2,x,1-6x^2 y^5 z, xy^4 z^2, x, 1 をそれぞれ項と呼びます。

第1項の次数は 2+5+1=82+5+1=8,第2項の次数は 1+4+2=71+4+2=7,第3項の次数は 11,第4項の次数は 00 であり,第1項の次数が最も大きいのでこの多項式の次数は 88 です。 また,11 は定数項と呼ばれます。

単項式と同様に,次数が 22 である多項式を二次式,次数が 33 である多項式を三次式,一般に次数が nn である多項式を nn次式 と呼びます。 中学校で習う「二次方程式」が,二次方程式と呼ばれる理由はここにあります。

また,変数が一種類である多項式を考えるとき,次数の高いものから低いものへと並べるやり方を降べきの順といいます。逆に,次数の低いものから高いものへと並べるやり方を昇べきの順といいます。降べきの順や昇べきの順に並べると,式が見やすくなります。

詳細は「降べきの順と昇べきの順について」もご参照ください。

単項式に関する問題例

上記の定義を理解するために,例題を考えてみます。

例1

3a,83ab,7,x,5x2y3 3a, \dfrac{8}{3}ab, -7, x, -5x^2y^3 は全て単項式である。これらの係数,次数を求めよ。

係数については順番に 3,83,7,1,53,\dfrac{8}{3},-7,1,-5 であり,次数については順番に 1,2,0,1,51,2,0,1,5 となります。

わからない場合はもう一度定義に立ち返ってみましょう。

例2

1x,2x+4 \frac{1}{x}, 2x+4 は単項式であると言えるか。

単項式の定義は「数や文字についての乗法のみを用いて表せる式」でした。1x\dfrac{1}{x} は割り算,2x+42x+4 は足し算が混じってしまっているため,単項式とは言えません。

多項式に関する問題例

多項式についてもいくつか問題を考えてみましょう。

例3

4c+5,x2+xy24 4c+5, x^2 + xy^2 -4 は多項式である。項,次数を求めよ。また,定数項はどれか?

4c+54c+5 について,項は 4c,54c,5 の2つ,第1項の次数は 11,第2項の次数は 00 であるので全体の次数は 11 となります。また,定数項は 55 です。

x2+xy24x^2 + xy^2 -4 について,項は x2,xy2,4x^2 ,xy^2, -4 の3つ,第1項の次数は 22,第2項の次数は 33,第3項の次数は 00 であるので全体の次数は 33 となります。 2+3+0=52+3+0=5 として次数は 55 であると答えないように注意しましょう。 また,定数項は 4-4 です。

例4

6x4x3+1x6 6x-4x^3+1 -x^6 は多項式である。これを降べきの順,昇べきの順に並べよ。

「降べきの順」は次数の高いものから低いものへ並べるやり方でした。降べきの順に並べると x64x3+6x+1 -x^6 -4x^3 +6x +1 となります。同様に,昇べきの順(次数が低いものから順に)並べると 1+6x4x3x6 1+6x-4x^3 -x^6 となります。

中学数学・高校数学では,降べきの順に並べることが多いです。高校数学では無限に項が並ぶ式が出てくることがあり,その際には昇べきの順が使われます。

余談ですが,0 という多項式の次数は 0 ではなく,特別に「定義しない」または「-\infty とする」場合が多いです。