単項式・多項式や次数・係数などの定義と問題例

まず，単項式や多項式に関連する数学用語の定義を確認します。

単項式についての用語の定義(係数・次数)

ちなみに，次数のことを英語でdegreeというので，「$x^3$ の次数は3である」ということを $$\deg (x^3) = 3$$ と表すことがあります。

多項式についての用語の定義(項・次数・定数項)

多項式の場合にも $n$ 次式という言葉を定義しましょう。

また，変数が一種類である多項式を考えるとき，次数の高いものから低いものへと並べるやり方を降べきの順といいます。逆に，次数の低いものから高いものへと並べるやり方を昇べきの順といいます。降べきの順や昇べきの順に並べると，式が見やすくなります。

詳細は「降べきの順と昇べきの順について」もご参照ください。

上記の定義を理解するために，例題を考えてみます。

係数については順番に $3,\dfrac{8}{3},-7,1,-5$ であり，次数については順番に $1,2,0,1,5$ となります。

わからない場合はもう一度定義に立ち返ってみましょう。

単項式の定義は「数や文字についての乗法のみを用いて表せる式」でした。$\dfrac{1}{x}$ は割り算，$2x+4$ は足し算が混じってしまっているため，単項式とは言えません。

多項式についてもいくつか問題を考えてみましょう。

$4c+5$ について，項は $4c,5$ の2つ，第1項の次数は $1$，第2項の次数は $0$ であるので全体の次数は $1$ となります。また，定数項は $5$ です。

$x^2 + xy^2 -4$ について，項は $x^2 ,xy^2, -4$ の3つ，第1項の次数は $2$，第2項の次数は $3$，第3項の次数は $0$ であるので全体の次数は $3$ となります。 $2+3+0=5$ として次数は $5$ であると答えないように注意しましょう。 また，定数項は $-4$ です。

「降べきの順」は次数の高いものから低いものへ並べるやり方でした。降べきの順に並べると $$-x^6 -4x^3 +6x +1$$ となります。同様に，昇べきの順（次数が低いものから順に）並べると $$1+6x-4x^3 -x^6$$ となります。

中学数学・高校数学では，降べきの順に並べることが多いです。高校数学では無限に項が並ぶ式が出てくることがあり，その際には昇べきの順が使われます。