行列の指数関数とその性質

更新日時 2021/03/07

行列の指数関数：

正方行列 $A$ に対して， $e^{A}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{A^k}{k!}$ $\:=I+A+\dfrac{A^2}{2!}+\dfrac{A^3}{3!}+\cdots$

と定義する。

行列の指数関数について
指数法則は成り立たない
相似変換に関する性質
$e^A$ が正則であること

行列の指数関数について

任意の正方行列 $A$ に対して $A$ と同じサイズの行列の無限和 $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{A^k}{k!}$ は収束することが知られています。そのため，任意の $A$ に対して $e^A$ を考えることができます。
$A$ のサイズが $1\times 1$ のときは通常の指数関数と一致します。
$A=\mathrm{diag}(a_1,\cdots, a_n)$ （ $a_1$ から $a_n$ を対角成分とする対角行列）のとき， $A^k=\mathrm{diag}(a_1^k,\cdots, a_n^k)$ なので， $e^A=\mathrm{diag}(e^{a_1},\cdots,e^{a_n})$ となります。似たような話が上三角行列の対角成分についても成り立ちます（後で使う）。

指数法則は成り立たない実数
a,ba,ba,b
 に対しては指数法則
ea+b=eaebe^{a+b}=e^ae^bea+b=eaeb
 が成立しますが，行列
A,BA,BA,B
 に対しては
eA+B=eAeBe^{A+B}=e^Ae^BeA+B=eAeB
 は一般には成立しません。
ただし，AAA
 と
BBB
 が交換可能（つまり
AB=BAAB=BAAB=BA
）な場合は
eA+B=eAeBe^{A+B}=e^Ae^BeA+B=eAeB
 が成立します。

相似変換に関する性質

$A=PBP^{-1}$ のとき $e^A=Pe^{B}P^{-1}$

導出

$e^A=e^{PBP^{-1}}\\ =I+(PBP^{-1})+\dfrac{(PBP^{-1})^2}{2!}+\dfrac{(PBP^{-1})^3}{3!}+\cdots$

ここで， $(PBP^{-1})^k=PB^{k}P^{-1}$ なので上式は，

$P\left(I+B+\dfrac{B^2}{2!}+\dfrac{B^3}{3!}+\cdots\right)P^{-1}=Pe^{B}P^{-1}$

となる。

$e^A$ が正則であること

$\det (e^A)=e^{\mathrm{tr}\:A}$

美しい公式です。そして，この公式から $\det (e^A)> 0$ が分かるので $e^A$ が正則であることも分かります！

証明

さきほどの相似変換に関する性質を使う。 $A=PJP^{-1}$ （ $J$ は $A$ のジョルダン標準形）とすると，

$e^{A}=Pe^{J}P^{-1}$

である。両辺の行列式を考えると， $\det (e^A)=\det (Pe^{J}P^{-1})$

となる。積の行列式は行列式の積なので上式の右辺は $\det (e^J)$ と等しい。

ここで， $J$ は上三角行列であり対角成分は $A$ の固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ である。よって， $e^J$ も上三角行列で対角成分は $e^{\lambda_1},\cdots,e^{\lambda_n}$ である。

よって， $\det (e^J)=e^{\lambda_1+\cdots +\lambda_n}=e^{\mathrm{tr}\:A}$

（ただし，最後に「固有値の和＝トレース」という性質を用いた→行列のトレースの性質とその証明）

ちなみに， $e^{X+Y}$ と $e^Xe^Y$ の間の関係を表す公式にBaker-Campbell-Hausdorffの公式（名前長っ！）というものがあります。

行列の指数関数とその性質

行列の指数関数について

指数法則は成り立たない

相似変換に関する性質

eAe^AeA が正則であること

$e^A$ が正則であること