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行列の指数関数とその性質

更新日時 2021/03/07

行列の指数関数:

正方行列 AA に対して, eA=k=0Akk!e^{A}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{A^k}{k!} =I+A+A22!+A33!+\:=I+A+\dfrac{A^2}{2!}+\dfrac{A^3}{3!}+\cdots

と定義する。

目次
  • 行列の指数関数について

  • 指数法則は成り立たない

  • 相似変換に関する性質

  • eAe^A が正則であること

行列の指数関数について

  • 任意の正方行列 AA に対して AA と同じサイズの行列の無限和 k=0Akk!\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{A^k}{k!} は収束することが知られています。そのため,任意の AA に対して eAe^A を考えることができます。

  • AA のサイズが 1×11\times 1 のときは通常の指数関数と一致します。

  • A=diag(a1,,an)A=\mathrm{diag}(a_1,\cdots, a_n)a1a_1 から ana_n を対角成分とする対角行列)のとき,Ak=diag(a1k,,ank)A^k=\mathrm{diag}(a_1^k,\cdots, a_n^k) なので,eA=diag(ea1,,ean)e^A=\mathrm{diag}(e^{a_1},\cdots,e^{a_n}) となります。 似たような話が上三角行列の対角成分についても成り立ちます(後で使う)。

指数法則は成り立たない

実数 a,ba,b に対しては指数法則 ea+b=eaebe^{a+b}=e^ae^b が成立しますが,行列 A,BA,B に対しては eA+B=eAeBe^{A+B}=e^Ae^B は一般には成立しません。

ただし,AABB が交換可能(つまり AB=BAAB=BA )な場合は eA+B=eAeBe^{A+B}=e^Ae^B が成立します。

相似変換に関する性質

A=PBP1A=PBP^{-1} のとき eA=PeBP1e^A=Pe^{B}P^{-1}

導出

eA=ePBP1=I+(PBP1)+(PBP1)22!+(PBP1)33!+e^A=e^{PBP^{-1}}\\ =I+(PBP^{-1})+\dfrac{(PBP^{-1})^2}{2!}+\dfrac{(PBP^{-1})^3}{3!}+\cdots

ここで,(PBP1)k=PBkP1(PBP^{-1})^k=PB^{k}P^{-1} なので上式は,

P(I+B+B22!+B33!+)P1=PeBP1P\left(I+B+\dfrac{B^2}{2!}+\dfrac{B^3}{3!}+\cdots\right)P^{-1}=Pe^{B}P^{-1}

となる。

eAe^A が正則であること

det(eA)=etrA\det (e^A)=e^{\mathrm{tr}\:A}

美しい公式です。そして,この公式から det(eA)>0\det (e^A)> 0 が分かるので eAe^A が正則であることも分かります!

証明

さきほどの相似変換に関する性質を使う。 A=PJP1A=PJP^{-1}JJAAジョルダン標準形)とすると,

eA=PeJP1e^{A}=Pe^{J}P^{-1}

である。両辺の行列式を考えると,det(eA)=det(PeJP1)\det (e^A)=\det (Pe^{J}P^{-1})

となる。積の行列式は行列式の積なので上式の右辺は det(eJ)\det (e^J) と等しい。

ここで,JJ は上三角行列であり対角成分は AA の固有値 λ1,,λn\lambda_1,\cdots,\lambda_n である。よって,eJe^J も上三角行列で対角成分は eλ1,,eλne^{\lambda_1},\cdots,e^{\lambda_n} である。

よって,det(eJ)=eλ1++λn=etrA\det (e^J)=e^{\lambda_1+\cdots +\lambda_n}=e^{\mathrm{tr}\:A}

(ただし,最後に「固有値の和=トレース」という性質を用いた→行列のトレースの性質とその証明

ちなみに,eX+Ye^{X+Y}eXeYe^Xe^Y の間の関係を表す公式にBaker-Campbell-Hausdorffの公式(名前長っ!)というものがあります。

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