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同時対角化可能⇔交換可能の意味と証明

更新日時 2021/03/07

二つの対称行列 A,BA,B について,

AB=BA    AB=BA\iffAABB は同時対角化可能

線形代数の重要な定理です。この定理の証明および量子力学における意味を解説します。

目次
  • 同時対角化可能とは

  • 定理のバリエーション

  • 同時対角化可能なら可換の証明

  • 交換可能なら同時対角化可能の証明

  • 量子力学における意味

同時対角化可能とは

  • ある正則行列 PP が存在して P1APP^{-1}AP が対角行列になるとき,行列 AA は対角化可能であると言います。
  • ある正則行列 PP が存在して P1APP^{-1}APP1BPP^{-1}BP がともに対角行列になるとき,行列 AABB は同時対角化可能であると言います。

定理のバリエーション

  • 上記の定理で「対称行列」を「エルミート行列」に変えてもOKです(量子力学で使うのはこれ)。
  • 「二つの対称行列 A,BA,B について」を「対角化可能な行列 A,BA,B について」に変えてもOKです。対称行列は常に対角化可能(→対称行列の固有値と固有ベクトルの性質の証明)なので,これは冒頭の定理の一般化になっています。

いずれもほぼ同様に証明できますので,以下では冒頭の定理を証明します。

同時対角化可能なら可換の証明

こちらは簡単です。

証明

\Leftarrow の証明

AABB が同時対角化可能なとき,ある正則行列 PP が存在して P1APP^{-1}APP1BPP^{-1}BP がともに対角行列となる。

対角行列どうしは交換可能なので,

(P1AP)(P1BP)=(P1BP)(P1AP)(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)

整理する:

P1ABP=P1BAPP^{-1}ABP=P^{-1}BAP

AB=BAAB=BA

交換可能なら同時対角化可能の証明

A,BA,B のサイズを nn とします。

方針

AA を対角化する行列 PP をもとに,AABB を同時対角化する行列 PQPQ を構成します。

証明

AA の固有値 λ\lambda に対応する固有ベクトルの一つを uu とおくと,

Au=λuAu=\lambda u

BAu=λBuBAu=\lambda Bu

A(Bu)=λ(Bu)A(Bu)=\lambda (Bu)

つまり BuBuAA の固有値 λ\lambda に対応する固有ベクトルである。

次に,AA の固有値 λ1\lambda_1 に対応する固有空間の正規直交基底を u1,,uku_1,\cdots,u_k とすると,上の議論により Bui(1ik)Bu_i\:(1\leq i\leq k)u1,,uku_1,\cdots,u_k の線形結合で表せるので,

B(u1,,uk)=(u1,,uk)C1B(u_1,\cdots,u_k)=(u_1,\cdots,u_k)C_1 と書ける(C1C_1k×kk\times k の行列)。

この議論は他の固有値 λ2,,λN\lambda_2,\cdots,\lambda_N についても成立する。

よって,AA の線形独立な固有ベクトルを(同じ固有値に対応する固有ベクトルは隣り合うような順番で)並べた行列を P=(u1,,un)P=(u_1,\cdots,u_n) とおくと,PP は直交行列であり,

BP=P(C1CN)BP=P\begin{pmatrix}C_1&&\\&\ddots&\\&&C_N\end{pmatrix} となる。

つまり P1BPP^{-1}BP はブロック対角行列になる。

また,P1BPP^{-1}BP は対称行列(→補足)なので,各 CiC_i も対称行列となり,対角化可能である: Qi1CiQi=DiQ_i^{-1}C_iQ_i=D_i

よって,Q=(Q1QN)Q=\begin{pmatrix}Q_1&&\\&\ddots&\\&&Q_N\end{pmatrix} とおくと,

Q1P1BPQQ^{-1}P^{-1}BPQ は対角行列になる。つまり PQPQBB を対角化する。

一方,PQPQAA の固有ベクトルを並べた行列 PP を「ブロック対角行列 QQ で混ぜたもの(各固有空間内で混ぜるだけ)」であり,PQPQ の列ベクトルたちも AA の線形独立な固有ベクトルである。つまり PQPQAA も対角化する。

補足:

PP は直交行列,BB は対称行列なので,
(P1BP)=PB(P1)=P1BP(P^{-1}BP)^{\top}=P^{\top}B^{\top}(P^{-1})^{\top}\\ =P^{-1}BP

量子力学における意味

量子力学では物理量はエルミート行列(演算子)に対応します。

また,AABB が同時対角化可能というのは,AA に対応する物理量と BB に対応する物理量が同時観測可能(一回の測定で両方分かる)であることを表しています。

つまりこの記事で紹介した定理は同時観測可能かどうかを判定するには ABBAAB-BA00 かどうかを確認すればよいことを表しています。

量子力学では無限次元の行列が登場します。

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