同時対角化可能⇔交換可能の意味と証明

$\Leftarrow$ の証明

$A$ と $B$ が同時対角化可能なとき，ある正則行列 $P$ が存在して $P^{-1}AP$ と $P^{-1}BP$ がともに対角行列となる。

対角行列どうしは交換可能なので，

$$(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)=(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)$$

整理する：

$$P^{-1}ABP=P^{-1}BAP$$

$$AB=BA$$

$A$ の固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルの一つを $u$ とおくと，

$$\begin{aligned} Au&=\lambda u\\ BAu&=\lambda Bu\\ A(Bu)&=\lambda (Bu)\\ \end{aligned}$$

つまり $Bu$ も $A$ の固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルである。

次に，$A$ の固有値 $\lambda_1$ に対応する固有空間の正規直交基底を $u_1,\cdots,u_k$ とすると，上の議論により $Bu_i\:(1\leq i\leq k)$ は $u_1,\cdots,u_k$ の線形結合で表せるので，

$$B(u_1,\cdots,u_k)=(u_1,\cdots,u_k)C_1$$ と書ける（$C_1$ は $k\times k$ の行列）。

この議論は他の固有値 $\lambda_2,\cdots,\lambda_N$ についても成立する。

よって，$A$ の線形独立な固有ベクトルを（同じ固有値に対応する固有ベクトルは隣り合うような順番で）並べた行列を $P=(u_1,\cdots,u_n)$ とおくと，$P$ は直交行列であり，

$$BP=P\begin{pmatrix}C_1&&\\&\ddots&\\&&C_N\end{pmatrix}$$ となる。

つまり $P^{-1}BP$ はブロック対角行列になる。

また，$P^{-1}BP$ は対称行列（→補足）なので，各 $C_i$ も対称行列となり，対角化可能である： $Q_i^{-1}C_iQ_i=D_i$

よって， $$Q=\begin{pmatrix}Q_1&&\\&\ddots&\\&&Q_N\end{pmatrix}$$ とおくと，

$Q^{-1}P^{-1}BPQ$ は対角行列になる。つまり $PQ$ は $B$ を対角化する。

一方，$PQ$ は $A$ の固有ベクトルを並べた行列 $P$ を「ブロック対角行列 $Q$ で混ぜたもの（各固有空間内で混ぜるだけ）」であり，$PQ$ の列ベクトルたちも $A$ の線形独立な固有ベクトルである。つまり $PQ$ は $A$ も対角化する。

前述の通り，$v$ を $A$ の固有値 $\lambda$ に対する固有ベクトルとすると $Bv$ もまた $\lambda$ に対する固有ベクトルである。

$A$ の固有値 $\lambda$ である固有ベクトルによる部分空間を $V(\lambda)$ で表す。

$A$ の固有値を $\lambda_1 , \cdots , \lambda_k$ とする。（$k \leq n$）

任意の $v$

$v$ を $B$ の固有ベクトルであるとする。

ここで $v_i \in V(\lambda_i)$ が存在して $$v = v_1 + \cdots + v_k$$ と表すことができるのであった。

$v$ を固有値 $\mu$ の $B$ の固有ベクトルとしたとき（つまり $Bv = \mu v$）各 $v_i$ もまた固有値 $\mu$ の $B$ の固有ベクトルとなる。

実際， $$\begin{aligned} Bv &= Bv_1 + \cdots + Bv_k\\ &= \mu v_1 + \cdots + \mu v_k \end{aligned}$$ と2通りで表される。各 $i$ について $\mu v_i \in V(\lambda_i)$，$Bv \in V(\lambda_i)$ である。 ここで，$i \neq j$ について $V(\lambda_i) \cap V(\lambda_j)$ に注意すると $Bv_i = \mu v_i$ である。

この議論により $w_{i}$ が $Aw_i = \lambda'_i w_i$，$Bw_i = \mu'_i w_i$ を満たすベクトルであるように取ることができ，こうしたベクトルを並べた行列を $P$ とすると $$AP = P \begin{pmatrix} \lambda'_1 \\ & \ddots \\ && \lambda'_n \end{pmatrix}\\ BP = P \begin{pmatrix} \mu'_1 \\ & \ddots \\ && \mu'_n \end{pmatrix}$$ とでき，この $P$ によって $A$ と $B$ は対角化されることが分かった。