シルベスターの慣性法則の意味と証明

更新 2022/05/08

シルベスターの慣性法則（シルベスターの慣性律，Sylvester’s law of inertia）を紹介します。平方完成に関連するおもしろい定理です。

まずは定理の主張です。3つ紹介します。

シルベスターの慣性法則

1(大雑把な言い方)：
多変数の二次関数を平方完成したとき，二乗の係数のプラス・0・マイナスの数は平方完成のやり方によらない。

2(数式で正確に)：
対称行列 $A$ に対して，正の固有値の数， $0$ の固有値の数，負の固有値の数を $p(A),z(A),n(A)$ とおく。正則行列 $S$ を用いて $B=S^{\top}AS$ という関係が成立するなら， $p(A)=p(B),z(A)=z(B),n(A)=n(B)$

3(簡潔な言い方)：
互いに合同な行列の固有値の各符号の数は同じ。

まずは，具体例を使って1の意味を説明します。
次に，1～3が同じ主張であることを説明します。
最後に，2を証明します。

簡単な例で主張1を理解する

例

$f(x,y)=2x^2+4xy+y^2$ をいくつかの方法で平方完成せよ。

$x$ についての二次式と見て平方完成すると，
$f(x,y)=2(x+y)^2-y^2$
二乗の係数は $2$ と $-1$ であり，プラスが1つ，マイナスが1つ
$y$ についての二次式と見て平方完成すると，
$f(x,y)=(y+2x)^2-2x^2$
二乗の係数は $1$ と $-2$ であり，プラスが1つ，マイナスが1つ

このように，平方完成のやり方は複数ありますが，どのように平方完成しても「各符号の数」は変わりません。これがシルベスターの慣性法則です。

行列の合同

次は，冒頭の主張1～3が同じ意味であることを説明します。2と3については「行列の合同」の意味がわかれば簡単です。
2と3が同じ意味であることの説明2つの対称行列 A,BA,BA,B の間に，（ある正則行列 SSS が存在して）B=S⊤ASB=S^{\top}ASB=S⊤AS という関係があるとき，A,BA,BA,B は互いに合同であると言います。つまり，以下の2つは同じ主張です。
対称行列 AAA に対して，正の固有値の数，000 の固有値の数，負の固有値の数を p(A),z(A),n(A)p(A),z(A),n(A)p(A),z(A),n(A) とおく。正則行列 SSS を用いて B=S⊤ASB=S^{\top}ASB=S⊤AS が成立するなら，p(A)=p(B),z(A)=z(B),n(A)=n(B)p(A)=p(B),z(A)=z(B),n(A)=n(B)p(A)=p(B),z(A)=z(B),n(A)=n(B)
互いに合同な対称行列の固有値の各符号の数は同じ。

平方完成と行列の合同

主張1が同じ意味であることの確認はけっこう大変です。まずは，前提知識（二次形式・平方完成と行列の合同の関係）を説明してから，主張1と主張2が同値であることを証明します。
二次形式二次形式（二次の項のみからなる多変数の二次関数）を考えます。このような関数は，変数を表すベクトル xundefined\overrightarrow{x}x と，係数を表す対称行列 AAA を使って xundefined⊤Axundefined\overrightarrow{x}^{\top}A\overrightarrow{x}x⊤Ax と表せます。
例えば，さきほどの例 f(x,y)=2x2+4xy+y2f(x,y)=2x^2+4xy+y^2f(x,y)=2x2+4xy+y2 は (xy)(2221)(xy)\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}(x​y​)(22​21​)(xy​)
のように表せます。
詳細は→二次形式の意味，微分，標準形など
平方完成と行列の合同Stundefined=xundefinedS\overrightarrow{t}=\overrightarrow{x}St=x のように，正則行列 SSS を使って変数を xundefined\overrightarrow{x}x から tundefined\overrightarrow{t}t に変換してみます。
この変換で，二次形式は，

xundefined⊤Axundefined=(Stundefined)⊤A(Stundefined)=tundefined⊤S⊤AStundefined\overrightarrow{x}^{\top}A\overrightarrow{x}\\=(S\overrightarrow{t})^{\top}A(S\overrightarrow{t})\\
=\overrightarrow{t}^{\top}S^{\top}AS\overrightarrow{t}x⊤Ax=(St)⊤A(St)=t⊤S⊤ASt

となります。
S⊤ASS^{\top}ASS⊤AS が対角行列 D=(d10⋯00d2…0⋮⋮⋱⋮00…dn)D=\begin{pmatrix}d_1&0&\cdots&0\\0&d_2&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&d_n\end{pmatrix}D=⎝⎛​d1​0⋮0​0d2​⋮0​⋯…⋱…​00⋮dn​​⎠⎞​ になるように SSS を選べば，二次形式は ∑i=1nditi2\displaystyle\sum_{i=1}^n d_it_i^2i=1∑n​di​ti2​ というきれいな形になります。
例
さきほどの例で，f(x,y)=2x2+4xy+y2f(x,y)=2x^2+4xy+y^2f(x,y)=2x2+4xy+y2 は，2(x+y)2−y22(x+y)^2-y^22(x+y)2−y2 と変形できた。これは，X=x+y,Y=yX=x+y,Y=yX=x+y,Y=y と置くと 2X2−Y22X^2-Y^22X2−Y2 と書ける。逆に解くと y=Y,x=X−Yy=Y,x=X-Yy=Y,x=X−Y となる。つまり S=(1−101)S=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}S=(10​−11​) の例。実際，
S⊤AS=(10−11)(2221)(1−101)=(200−1)S^{\top}AS=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}S⊤AS=(1−1​01​)(22​21​)(10​−11​)=(20​0−1​)
と対角行列になっている。
つまり，平方完成は S⊤ASS^{\top}ASS⊤AS が対角行列になるような変換 SSS を探すことと言えます。

1と2が同じ意味であることの証明

冒頭の主張1と2が同値であること（以下の定理）を証明します。なお，この証明を理解できなくても，後述するシルベスターの慣性法則（主張2）の証明は理解できます。

定理

以下は同値。

多変数の二次関数を平方完成したとき，二乗の係数のプラス・0・マイナスの数は平方完成のやり方によらない。
対称行列 $A$ に対して，正の固有値の数， $0$ の固有値の数，負の固有値の数を $p(A),z(A),n(A)$ とおく。正則行列 $S$ を用いて $B=S^{\top}AS$ という関係が成立するなら， $p(A)=p(B),z(A)=z(B),n(A)=n(B)$

2ならば1の証明

二次形式 $\overrightarrow{x}^{\top}A\overrightarrow{x}$ を平方完成して $\overrightarrow{y}^{\top}S^{\top}AS\overrightarrow{y}$

になったとする。 $S^{\top}AS=D$ は対角行列である。

「平方完成したときの二乗の係数の各符号の数」
＝「 $D$ の対角成分の各符号の数」
＝「 $D$ の固有値の各符号の数」
＝「 $A$ の固有値の各符号の数」

である。最後の等号で主張2を使った。よって，最右辺である「 $A$ の固有値の各符号の数」は $A$ だけで決まるので平方完成のやり方 $S$ によらない。

1ならば2の証明

$B=S^{\top}AS$ のとき，

$B$ の固有値は $U^{-1}BU=D_B$ と対角化したときの $D_B$ の対角成分
$A$ の固有値は $V^{-1}AV=D_A$ と対角化したときの $D_A$ の対角成分

（ $A,B$ は対称行列なので，直交行列 $U,V$ で対角化できる）

次に， $A$ の平方完成を考える

$D_A=V^{-1}AV=V^{\top}AV$ は平方完成の1つ
$D_B=U^{-1}S^{\top}ASU=(SU)^{\top}A(SU)$ も平方完成の1つ

よって，主張1が真ならば $D_A$ と $D_B$ の対角成分の各符号の数は等しい。

シルベスターの慣性法則の証明

主張2の証明を紹介します。シルベスターの慣性則基礎数理（素晴らしいPDF）に記載されている証明そのものです。

証明

任意の正則行列 $S$ は，基本行列の積で表せる。(→補足1)

よって，任意の基本行列 $P$ による変換 $B=P^{\top}AP$ で固有値の各符号の数が不変であることを示せば良い。以下， 3種類の基本行列それぞれについて確認する。

行の交換に対応する基本行列：
例えば， $P=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ など。この場合 $P$ は直交行列なので，固有値自体が変わらない。なぜなら， $\det(A-\lambda I)=\det(P^{\top}AP-\lambda P^{\top}IP)=\det(B-\lambda I)$ であり固有方程式が不変であるから。
定数倍を他の行に加える操作に対応する基本行列：
例えば， $P(c)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\c&0&1\end{pmatrix}$ など。 $c=0$ の場合単位行列であり， $P(0)^{\top}AP(0)$ の固有値は $A$ の固有値と同じ。パラメータを連続的に $0\to c$ まで変化させるとき， $P(c)^{\top}AP(c)$ の固有値も連続的に変化する（→補足2）。その過程で， $P(c)$ は常に正則なので， $P(c)^{\top}AP(c)$ のゼロでない固有値が $0$ になることはない。よって，変化の間，固有値の各符号の数は不変である。つまり，任意の $c$ に対して $P(c)^{\top}AP(c)$ と $P(0)^{\top}AP(0)=A$ の固有値の各符号の数は同じ。
定数倍に対応する基本行列：
例えば， $P=\begin{pmatrix}c&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ など。 $c=\pm 1$ の場合は直交行列であり $P^{\top}AP$ の固有値と $A$ の固有値は同じ。そうでないときも， $c$ を連続的に変化させることで（2と同様の議論から）固有値の各符号の数は不変。

補足1：

正則行列 $S$ $S$ は，行基本変形で必ず単位行列にできる。具体的には，
- まず，一列目を単位行列と同じ形にする（正則行列なので一列目に非ゼロ成分があるので，それを1行目に持ってきて1にして残りの成分を0にすればよい）
- 同じように，2列目以降も順番に単位行列と同じ形にしていく。
よって， $P_1P_2\dots P_nS=I$ となる基本行列 $P_1,\cdots,P_n$ が存在する。よって， $S=P_n^{-1}\cdots P_2^{-1} P_1^{-1}$ となる。基本行列の逆行列は基本行列なので $S$ は基本行列の積で表せる。

補足2：

$c$ に対して固有値が連続的に変化することは Tosio Kato著の Perturbation theory for linear operators という本のTheorem 5.2からわかる。自分は当たり前っぽいと思ってしまったが，よく考えると繊細な議論が必要で証明も簡単ではない（読者の方に教えていただきました，ありがとうございました）。

証明で紹介したPDFは「基礎数理」という講義の資料です。この講義は私も受講したことがありますが，最高でした。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！