相関行列の定義と分散共分散行列との関係

更新 2025/10/21

相関行列とは，各成分に相関係数を並べた行列のことです。

相関行列について解説します。

相関係数の復習

相関係数とは，2つの確率変数の間の関係を表す数です。
相関係数は −1-1−1 から 111 の間
相関係数が大きい（1に近い）

→ 片方が大きいとき，もう片方も大きい傾向がある
相関係数が 000 に近い

→ 2つの変数にあまり関係はない
相関係数が小さい（-1に近い）

→ 片方が大きいとき，もう片方は小さい傾向がある
→相関係数の意味と6つの性質（範囲が-1以上1以下、など）

相関行列とは

相関行列の定義

$n$ 個の変数 $X_1,X_2,\dots,X_n$ に対して，相関行列とは， $ij$ 成分に $X_i$ と $X_j$ の相関係数 $\rho_{ij}$ を並べた行列のことです。

例えば $n=3$ の場合，相関行列は $\begin{pmatrix}1&\rho_{12}&\rho_{13}\\\rho_{12}&1&{\rho_{23}}\\\rho_{13}&\rho_{23}&1\end{pmatrix}$ のようになります。

$X_i$ と $X_i$ の相関係数は $\rho_{ii}=1$ です。つまり，相関行列の対角成分は $1$ です。
相関行列の非対角成分は $-1$ 以上 $1$ 以下です。
$\rho_{ij}=\rho_{ji}$ より，相関行列は対称行列です。
$X_1,X_2,\dots,X_n$ は互いに相関係数が計算できる「変数」です。具体的には，確率変数または（ $n$ 組の対応する）データ，例えば $n$ 個の説明変数です。後者の場合の相関行列を，特に標本相関行列と言うことがあります。

分散共分散行列との関係1

性質1

確率変数 $X_1,X_2,\dots, X_n$ に対する相関行列 $C$ は，

（ $X_i$ たちをスケール変換した）確率変数 $\dfrac{X_1}{\sigma_1},\dfrac{X_2}{\sigma_2},\cdots,\dfrac{X_n}{\sigma_n}$ に対する分散共分散行列 $\Sigma'$ と一致する（ $\sigma_i$ は $X_i$ の標準偏差）。

証明

$C$ の $ii$ 成分は $1$ ， $\Sigma'$ の $ii$ 成分は $\dfrac{X_i}{\sigma_i}$ の分散なので $1$ となり一致する。
$C$ の $ij$ 成分は $\rho_{ij}$ ， $\Sigma'$ の $ij$ 成分は $\dfrac{X_i}{\sigma_i}$ と $\dfrac{X_j}{\sigma_j}$ の共分散なので $\dfrac{\mathrm{Cov}(X_i,X_j)}{\sigma_i\sigma_j}=\rho_{ij}$ となり一致する。

分散共分散行列との関係2

性質2

確率変数 $X_1,X_2,\dots, X_n$ に対する相関行列 $C$ と分散共分散行列 $\Sigma$ の間には $C=D\Sigma D$ という関係が成り立つ。ただし， $D$ は $ii$ 成分が $\dfrac{1}{\sigma_i}$ であるような対角行列。

この関係式は成分計算で簡単に確認できます。

2次元の場合の例

$\begin{pmatrix}1&\rho_{12}\\\rho_{12}&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sigma_1}&0\\0&\dfrac{1}{\sigma_2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_1^2&\sigma_{12}\\\sigma_{12}&\sigma_2^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sigma_1}&0\\0&\dfrac{1}{\sigma_2}\end{pmatrix}$

半正定値であること

性質3

相関行列は半正定値

半正定値の意味は，→半正定値対称行列の意味と性質【固有値・二次形式・分解・小行列式】

これは，分散共分散行列が半正定値であることと，さきほどの性質2から分かります。

証明

任意の $n$ 次元縦ベクトル $y$ に対して $y^{\top}Cy\geq 0$ を示すのが目標。

さきほどの関係式より， $y^{\top}Cy=y^{\top}D\Sigma Dy\\ =(Dy)^{\top}\Sigma (Dy)$ これは $\Sigma$ が半正定値であることから $0$ 以上である。

分散共分散行列を $\Sigma$ で表すのは一般的ですが，相関行列にはどの記号を用いるのが適切か迷いました。correlation matrixの頭文字 $C$ を使いましたが，異論がある方はご一報ください。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！