累乗根の定義と具体例

更新日時 2021/02/28

数 $a$ に対して， $n$ 乗して $a$ になるような数を $a$ の $n$ 乗根という。

特定の $n$ を意識しない場合はまとめて累乗根とも言います。

正の実数の範囲での累乗根
複素数の範囲での累乗根

正の実数の範囲での累乗根

正の実数 $a$ と $1$ 以上の整数 $n$ に対し， $n$ 乗して $a$ になるような正の実数はちょうどひとつあり，それを $\sqrt[n]{a}$ あるいは $a^{\frac{1}{n}}$ と書きます。 $n = 2$ の時は正の平方根 $\sqrt{a}$ のことです。

ちょうどひとつあることの証明

関数 $f(x) = x^n$ は $x > 0$ の範囲で狭義単調増加である。よって $x^n = a$ となるような $x > 0$ は高々ひとつである。また十分大きい $c > 0$ に対して $0 < a < f(c) = c^n$ だから，中間値の定理より $0$ と $c$ の間に $x^n = a$ を満たす $x$ が少なくともひとつ存在する。よって $x^n = a$ を満たす $x > 0$ はちょうどひとつ存在する。

例

$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt[3]{64} = 4$
$\sqrt[8]{1024} = 2 \sqrt[4]{2}$

このように正の実数に対しては，その $n$ 乗根が正の実数の範囲にちょうどひとつ存在します。しかし範囲を広げて考えると，累乗根は複数存在する場合があります。例えば， $\sqrt{2}, - \sqrt{2}$ は両方とも $2$ の2乗根です。

以下では複素数の範囲で累乗根について考えます。

複素数の範囲での累乗根

複素数の範囲では累乗根は一般に複数個存在します。例えば $2$ の2乗根は $\sqrt{2}, - \sqrt{2}$ であり， $1$ の3乗根は $1$ 自身の他に $\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \omega^2 = \dfrac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ があります。

より詳しく，以下の定理が成立します。

定理

$0$ でない複素数 $a$ と $1$ 以上の整数 $n$ に対し，

$a$ の $n$ 乗根は複素数の範囲でちょうど $n$ 個存在する。
それら $n$ 個は，複素数の極形式で以下のように表せる： $r^{1/n} e^{i(\theta + 2 \pi )/n}, r^{1/n} e^{i(\theta + 4 \pi )/n}, \dots , r^{1/n} e^{i(\theta + 2n \pi )/n}$ ただし， $r = |a|, \theta = \arg{a}$ である。

定理の中の $r^{1/n}$ は正の実数の場合における $r > 0$ の $n$ 乗根のことです。また $e^{i(\theta + 2k \pi )/n}$ は，オイラーの公式により $\cos((\theta + 2k \pi )/n) + i \sin((\theta + 2k \pi )/n)$ と同じです。

例

$25$ の2乗根は $5, -5$ の2個
$64$ の3乗根は $\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ 　として $4, 4\omega, 4\omega^2$ の3個
$-3$ の2乗根は $\sqrt{3}i, -\sqrt{3}i$ の2個

証明

前半（ $n$ 乗根が $n$ 個存在すること）の証明：
$a$ の $n$ 乗根とは方程式 $x^n - a = 0$ の解のことである。代数学の基本定理より，この方程式は複素数の範囲で（重複度を含めて） $n$ 個の解を持つ。また $f(x) = x^n - a$ とおくと， $f'(x) = nx^{n-1}$ であり， $a \neq 0$ より $f(x) = 0$ と $f'(x) = 0$ は共通解を持たない。よって因数定理の重解バージョンより $f(x) = 0$ は重解を持たないから，その解はちょうど $n$ 個である。

後半（ $n$ 乗根の表し方の確認）：

$\begin{aligned} &\left( r^{1/n} e^{i(\theta + 2k \pi )/n} \right)^n \\ &= r e^{i(\theta + 2k \pi )} \\ &=r e^{i \theta} \\ &=a \end{aligned}$

より $r^{1/n} e^{i(\theta + 2k \pi )/n}$ は $a$ の $n$ 乗根である（2つ目の等号で $k$ が整数であることを使った）。

特に $a$ が正の実数のとき， $\zeta = e^{2 \pi i/n} = \cos(2 \pi /n) + i \sin(2 \pi /n)$ を $1$ の原始 $n$ 乗根のひとつとして，複素数の範囲の $a$ の $n$ 乗根は $a^{1/n}, a^{1/n} \zeta, \dots , a^{1/n} \zeta^{n-1}$ の $n$ 個です。
複素数の積を扱う時は極形式を考えて「絶対値は積，偏角は和」になることを使うと見通しがよくなることが多いです。→複素数平面における回転と極形式

正の実数でなくても $\sqrt[n]{a}$ という記法を使うことはあります（ $\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$ とか）。