累乗根の定義と具体例

関数 $f(x) = x^n$ は $x > 0$ の範囲で狭義単調増加である。

よって $x^n = a$ となるような $x > 0$ は高々ひとつである。

また十分大きい $c > 0$ に対して $0 < a < f(c) = c^n$ だから，中間値の定理より $0$ と $c$ の間に $x^n = a$ を満たす $x$ が少なくともひとつ存在する。

よって $x^n = a$ を満たす $x > 0$ はちょうどひとつ存在する。

$1$ の $n$ 乗根は，$x^n = 1$ の解である。

ゆえに $x^n=1$ の解が，$e^{\frac{2k \pi}{n}i} \; (k=0,1,\cdots ,n-1)$ で過不足なく表されることを示せばよい。

1. $e^{\frac{2k \pi}{n}i}$ はそれぞれ相異なる $x^n=1$ の解であること

解であることは $(e^{\frac{2k \pi}{n}i})^n = e^{2k \pi i} = 1$ より従う。

相異なることを示す。

$0 \leqq p < q \leqq n-1$ のとき $e^{\frac{2 p\pi}{n} i} = e^{\frac{2 q\pi}{n} i}$ と仮定する。

• 辺々を $e^{\frac{2 q\pi}{n} i}$ で割ることで $e^{\frac{2 (p-q)\pi}{n} i} = 1$ である。

• $0 < p-q < n$ であることから $e^{\frac{2 (p-q)\pi}{n}i} \neq 1$ である。（→補足を参照）

これらは矛盾する。

よって $0 \leqq p < q \leqq n-1$ のとき $e^{\frac{2 p\pi}{n} i} \neq e^{\frac{2 q\pi}{n} i}$ である。

すなわち $\{ e^{\frac{2k \pi}{n} i} \mid k = 0,1, \cdots ,n-1 \}$ は相異なる。

2. 逆に $x^n=1$ の解が $e^{\frac{2k \pi}{n}i}$ でつくされること

代数学の基本定理より，$x^n - 1 = 0$ は複素数の範囲で（重複度を含めて）$n$ 個の解を持つ。よって $1$ の $n$ 乗根は高々 $n$ 個存在する。

前半より $\{ e^{\frac{2k \pi}{n} i} \mid k = 0,1, \cdots ,n-1 \}$ は相異なる $n$ 個の集合 である。

よって $e^{\frac{2k \pi}{n} i}$ の他に $x^n=1$ の解は存在しない。

$f(x) = x^n - 1$ とおく

$x^n=1$ の解は，$f(x) = 0$ の解と解釈することができる。

$f'(x) = nx^{n-1}$ である。この解は $x=0$ であるが，$f(0) = 1 \neq 0$ である。

こうして $f(x) = 0$ と $f'(x) = 0$ は共通解を持たない。

よって因数定理の重解バージョンより $f(x) = 0$ は重解を持たないから，その解は相異なる。

$\{ r^{1/n} e^{i(\theta + 2k \pi )/n} \}$ は $x^n = a$ の解を与える。実際 $$\begin{aligned} &\left( r^{1/n} e^{i(\theta + 2k \pi )/n} \right)^n \\ &= r e^{i(\theta + 2k \pi )} \\ &=r e^{i \theta} \\ &=a \end{aligned}$$ と計算される。

これらが相異なることは，$1$ の $n$ 乗根における議論で示されている。

代数学の基本定理より $x^n = a$ が $n$ 個の解を持つことと合わせることで，$\{ r^{1/n} e^{i(\theta + 2k \pi )/n} \}$ は $a$ の $n$ 乗根を与えることが示される。

1. $1, \zeta_n, \zeta_n^2 , \cdots , \zeta_n^{n-1}$ は それぞれ相異なる $1$ の $n$ 乗根である。すなわち相異なる $n$ 個の $x^n - 1$ の解である。
   ｎ次方程式の解と係数の関係 より $\zeta_n + \zeta_n^2 + \cdots + \zeta_n^{n-1}$ は $x^{n-1}$ の係数と一致する。よって $$1 + \zeta_n + \zeta_n^2 + \cdots + \zeta_n^{n-1} = 0$$ である。
   $1$ を移項して $$\zeta_n + \zeta_n^2 + \cdots + \zeta_n^{n-1} = -1$$ を得る。

2. $\zeta_n = \cos \dfrac{2\pi}{n} + i \sin \dfrac{2\pi}{n}$ であるため，$\zeta_n + \zeta_n^2 + \cdots + \zeta_n^{n-1}$ の実部を見ることで $$\cos \dfrac{2\pi}{n} + \cos \dfrac{4 \pi}{n} + \cdots + \cos \dfrac{2 (n-1) \pi}{n} = -1$$ を得る。

3. 2 同様にして $$\sin \dfrac{2\pi}{n} + \sin \dfrac{4 \pi}{n} + \cdots + \sin \dfrac{2 (n-1) \pi}{n} = 0$$ である。

1. 等比数列の和の公式を用いることで $$\begin{aligned} &\zeta_n + \zeta_n^2 + \cdots + \zeta_n^{n-1}\\ &= \zeta_n \cdot \dfrac{1-\zeta_n^{n-1}}{1-\zeta_n}\\ &= \dfrac{\zeta_n - \zeta_n^n}{1-\zeta_n}\\ &= \dfrac{\zeta_n - 1}{1-\zeta_n}\\ &= -1 \end{aligned}$$ となる。

2. 同様

3. 同様