累乗根の定義と具体例

更新日時 2021/02/28

数 $a$ に対して， $n$ 乗して $a$ になるような数を $a$ の $n$ 乗根という。

なお，特定の $n$ を意識しない場合はまとめて累乗根とも言います。累乗根・ $n$ 乗根について詳しく解説します。

正の実数の範囲での累乗根
複素数の範囲での累乗根

正の実数の範囲での累乗根

正の実数 $a$ と $1$ 以上の整数 $n$ に対し， $n$ 乗して $a$ になるような正の実数はちょうどひとつあり，それを $\sqrt[n]{a}$ あるいは $a^{\frac{1}{n}}$ と書きます。

例

$\sqrt[2]{25} = 5$ である。なぜなら， $5$ を $2$ 乗すると $25$ になるから。
$\sqrt[3]{64} = 4$ である。なぜなら， $4$ を $3$ 乗すると $64$ になるから。
$\sqrt[10]{1024} = 2$ である。なぜなら， $2$ を $10$ 乗すると $1024$ になるから

なお， $n=2$ のときの $\sqrt[2]{a}$ は，単に $\sqrt{a}$ とも書きます。正の平方根のことです。

では， $n$ 乗して $a$ になる正の実数がちょうどひとつあることを証明しておきましょう。

ちょうどひとつあることの証明

関数 $f(x) = x^n$ は $x > 0$ の範囲で狭義単調増加である。よって $x^n = a$ となるような $x > 0$ は高々ひとつである。また十分大きい $c > 0$ に対して $0 < a < f(c) = c^n$ だから，中間値の定理より $0$ と $c$ の間に $x^n = a$ を満たす $x$ が少なくともひとつ存在する。よって $x^n = a$ を満たす $x > 0$ はちょうどひとつ存在する。

このように正の実数に対しては，その $n$ 乗根が正の実数の範囲にちょうどひとつ存在します。しかし範囲を広げて考えると，累乗根は複数存在する場合があります。例えば， $\sqrt{2}, -\sqrt{2}$ は両方とも $2$ の2乗根です。

以下では複素数の範囲で累乗根について考えます。

複素数の範囲での累乗根

複素数の範囲では累乗根は一般に複数個存在します。例えば $2$ の2乗根は $\sqrt{2}, - \sqrt{2}$ であり， $1$ の3乗根は $1$ 自身の他に $\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \omega^2 = \dfrac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ があります。

より詳しく，以下の定理が成立します。

定理

$0$ でない複素数 $a$ と $1$ 以上の整数 $n$ に対し，

$a$ の $n$ 乗根は複素数の範囲でちょうど $n$ 個存在する。
それら $n$ 個は，複素数の極形式で以下のように表せる：

$r^{\frac{1}{n}}e^{\frac{i(\theta+2k\pi)}{n}}\:(k=0,1,2,\dots,n-1)$

ただし， $r = |a|, \theta = \arg{a}$ である。

定理の中の $r^{1/n}$ は正の実数の場合における $r > 0$ の $n$ 乗根のことです。また $e^{i(\theta + 2k \pi )/n}$ は，オイラーの公式により $\cos((\theta + 2k \pi )/n) + i \sin((\theta + 2k \pi )/n)$ と同じです。

例

$25$ の2乗根は $5, -5$ の2個
$64$ の3乗根は $\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ 　として $4, 4\omega, 4\omega^2$ の3個
$-3$ の2乗根は $\sqrt{3}i, -\sqrt{3}i$ の2個

証明

前半（ $n$ 乗根が $n$ 個存在すること）の証明：
$a$ の $n$ 乗根とは方程式 $x^n - a = 0$ の解のことである。代数学の基本定理より，この方程式は複素数の範囲で（重複度を含めて） $n$ 個の解を持つ。また $f(x) = x^n - a$ とおくと， $f'(x) = nx^{n-1}$ であり， $a \neq 0$ より $f(x) = 0$ と $f'(x) = 0$ は共通解を持たない。よって因数定理の重解バージョンより $f(x) = 0$ は重解を持たないから，その解はちょうど $n$ 個である。

後半（ $n$ 乗根の表し方の確認）：

$\begin{aligned} &\left( r^{1/n} e^{i(\theta + 2k \pi )/n} \right)^n \\ &= r e^{i(\theta + 2k \pi )} \\ &=r e^{i \theta} \\ &=a \end{aligned}$

より $r^{1/n} e^{i(\theta + 2k \pi )/n}$ は $a$ の $n$ 乗根である（2つ目の等号で $k$ が整数であることを使った）。

特に $a$ が正の実数のとき， $\zeta = e^{2 \pi i/n} = \cos(2 \pi /n) + i \sin(2 \pi /n)$ を $1$ の原始 $n$ 乗根のひとつとして，複素数の範囲の $a$ の $n$ 乗根は $a^{1/n}, a^{1/n} \zeta, \dots , a^{1/n} \zeta^{n-1}$ の $n$ 個です。
複素数の積を扱う時は極形式を考えて「絶対値は積，偏角は和」になることを使うと見通しがよくなることが多いです。→複素数平面における回転と極形式

正の実数でなくても $\sqrt[n]{a}$ という記法を使うことはあります（ $\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$ とか）。

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