正多角形の作図可能性の条件

一つ目の $\Rightarrow$ について。正 $n$ 角形が作図できるとき，長さの比が $1:\cos\dfrac{2\pi}{n}$ である2本の線分が作図できることから分かる。

一つ目の $\Leftarrow$ について。長さ $1$ の線分 $OA$ が与えられたときに長さ $\cos\dfrac{2\pi}{n}$ の線分 $OB$ が作図できるとき，$B$ を通り $OA$ と垂直な直線と中心が $O$ で半径が $OA$ である円の交点の1つ $C$ が作図できる。 $AC$ は正 $n$ 角形の1辺である。よって，正 $n$ 角形が作図できる。

二つ目の $\Rightarrow$ について。やや難しいので割愛。

二つ目の $\Leftarrow$ について。（整数の四則演算とルートで表現できる任意の数 $l$ に対して）長さ1の線分が与えられたとき，長さ $l$ の線分は作図可能。→平方根の長さを作図する２通りの方法

1について。 $\cos\dfrac{2\pi}{n}$ が整数の四則演算とルートで表現できるなら，半角の公式から $\cos\dfrac{2\pi}{2n}$ も整数の四則演算とルートで表現できる。

2について。 $p_1$ と $p_2$ は互いに素なので $p_1A+p_2B=1$ ，つまり $\dfrac{1}{p_1p_2}=\dfrac{B}{p_1}+\dfrac{A}{p_2}$ を満たす整数 $A,B$ が存在する。→一次不定方程式ax+by=cの整数解

よって，加法定理より

$\cos\dfrac{2\pi}{p_1p_2}=\cos\dfrac{2\pi B}{p_1}\cos\dfrac{2\pi A}{p_2}-\sin\dfrac{2\pi B}{p_1}\sin\dfrac{2\pi A}{p_2}$

である。

よって，$\cos\dfrac{2\pi}{p_1}$ と $\cos\dfrac{2\pi}{p_2}$ が整数の四則演算とルートで表現できるなら，$\cos\dfrac{2\pi}{p_1p_2}$ も整数の四則演算とルートで表現できる。