• 解決済み

    @Io_oI

    2021/8/10 14:30

    2 回答

    数列の極限についてです。


    lim⁡n→∞an\lim_{n\to\infty}a_nが一定の値に収束するとき、lim⁡n→∞(an−an−1)=0\lim_{n\to\infty}(a_n-a_{n-1})=0


    これは成り立ちますか。

    成り立つなら、それを証明なしに用いてもいいのでしょうか。

    補足

    訂正させてください。


    数列aka_kが一定の値に収束するとき、lim⁡n→∞(an−an−1)→0\lim_{n\to\infty}(a_n-a_{n-1})\to0

    1. 高校生
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    ベストアンサー

    ベストアンサー

    @yuki_pyoko

    2021/8/11 8:13

    数列{an}\{a_n\}が収束することと、数列{an}\{a_n\}がコーシー列であることは同値なので、成り立つのではないでしょうか。


    数列{an}\{a_n\}がコーシー列である とは、任意の正数ε\varepsilonに対し、ある番号NNが存在して、NN以上の番号n,mn, mにおいて常に∣an−am∣<ε|a_n-a_m|<\varepsilonが成り立つ、ということです。


    ですから、ある番号から先では、どれだけ離れた階差を取ってあげても、その差の絶対値は限りなく小さくできるわけです。


    なので、もちろん、1つ分の階差lim⁡n→∞(an−an=1)→0\lim_{n \to \infty} (a_n-a_{n=1}) \to 0となります。


    証明には、いわゆるイプシロンデルタ論法を用いるため、高校数学のうちは自明に使ってよい事実であったと記憶しています。


    出典がある訳ではないので、青チャート等 参考書を立ち読みして確認するのも手かもしれませんね！


    駄文 失礼いたしました。

    補足

    lim⁡n→∞(an−an−1)=0\lim_{n \to \infty} (a_n-a_{n-1})=0ですね……！

    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    ありがとうございます！

    説明とても分かりやすいです。

    なるほど…コーシー列というものに関係しているのですね。自分でも色々調べてみます。


    ところで、数コンで1位になられていますよね。(日本語が…)大学への数学という月刊雑誌をご存知ですか。その雑誌の学コンという応募コーナーが数コンにそっくり(というか数コンは多分その真似)なのでぜひやってみてください。記述・添削ありです。

    ただの布教です。失礼しました。

    そのほかの回答（1件）

    @maaaaaaa

    2021/8/10 12:43

    lim n→∞ a^n−1も一定値に収束する場合2つ目の式は必ずしも0になるとは限らないのではないでしょうか？



    返信(1件)

    @Io_oI

    2021/8/10 14:27

    確かにそうですね…

    質問の仕方が悪かったと思います。訂正します。


    僕が思ったのは、例えば、

    {an=2an−1+3a1=1\begin{cases}a_n=\sqrt{2a_{n-1}+3}\\a_1=1\end{cases}

    という数列の極限は、これを使えるなら簡単に求められるのにな、ということです。

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