微分がまつわる確率漸化式～京大特色2026第2問

$f_N (x) = g(x) e^x$（$g(x)$ は整数係数の多項式）と表されることを示す。

数学的帰納法を用いる。

$N=0$ では明らか。

$N=k$ のとき成立を仮定する。

$k+1$ 回目で裏が出た場合， $$xf_N(x) = \{ xg(x) \} e^x$$ より $(\text{整数係数の多項式}) \times e^x$ の形になっている。

$k+1$ 回目で表が出た場合，積の微分公式により $$\begin{aligned} {f'}_N (x) &= \dfrac{d}{dx} g(x) e^x\\ &= \dfrac{dg}{dx} e^x + g \dfrac{d}{dx}e^x\\ &= \{ g'(x) + g (x) \} e^x \end{aligned}$$ である。$g'(x)$ の係数は $g(x)$ の係数を自然数倍したものなので，整数係数である。よって，この場合も $(\text{整数係数の多項式}) \times e^x$ の形になっている。

$f_N(0) = g(0)$ と計算されるため，$g(0)$ の偶奇を調べればよい。

以下，多項式 $g(x)$ により $f_N (x) = g(x) e^x$ と表すことにする。

求める確率を $p_N$ とおき，$p_{N+2}$ と $p_{N}$ の漸化式を求める。

$f_N(0) = g(0)$ が奇数の場合

• $N+1$ 回目で表，$N+2$ 回目で表が出た場合 $$\begin{aligned} f_{N+2} (x) &= \dfrac{d^2}{dx^2} f_{N} (x)\\ &= \dfrac{d}{dx} \{ g'(x) + g(x) \} e^x\\ &= \{ g''(x) +2g'(x) + g(x) \} e^x \end{aligned}$$ である。 $$f_{N+2} (0) = g''(0) + 2g'(0) + g(0)$$ であるが，$g(x) = a+bx+cx^2+\cdots$ と表すと $g''(0) = 2c$ となり，これは偶数である。よって $f_{N+2} (0)$ は奇数となる。

• $N+1$ 回目で裏，$N+2$ 回目で表がでた場合 $$\begin{aligned} f_{N+2} (x) &= \dfrac{d}{dx} (xf_{N} (x))\\ &= \dfrac{d}{dx} xg(x) e^x\\ &= \{ xg'(x) + g(x) + xg(x) \} e^x \end{aligned}$$ である。よって， $$f_{N+2} (0) = g(0)$$ であるため，条件よりこれは奇数である。

• $N+2$ 回目で裏が出た場合 $$f_{N+2} (x) = x f_{N+1} (x)$$ より $f_{N+2} (0) = 0$ で，これは偶数である。

よって，$f_N (0)$ が奇数の場合，$\dfrac{1}{2}$ の確率で $f_{N+2} (0)$ も奇数になる。

$f_N(0) = p(0)$ が偶数の場合

• $N+1$ 回目で表，$N+2$ 回目で表が出た場合
  前のケース同様 $$f_{N+2} (0) = g''(0) + 2g'(0) + g(0)$$ であるが，前述の通り $g''(0)$ は偶数である。よって $f_{N+2} (0)$ は偶数となる。

• $N+1$ 回目で裏，$N+2$ 回目で表がでた場合 $$f_{N+2} (0) = g(0)$$ である。条件よりこれは偶数である

• $N+2$ 回目で裏が出た場合
  前と同様，常に偶数となる。

漸化式と結論

以上の議論より $p_{N+2} = \dfrac{1}{2} p_N$ である。

• $N$ が奇数のとき

$N=1$ のときは，表を出した場合に $f_1 (0)$ が奇数となるため，$p_1 = \dfrac{1}{2}$ である。よって $$p_N = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{N-1}{2}} \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2^{\frac{N+1}{2}}}$$ である。

• $N$ が偶数のとき

表表と出た場合，$f_2 (x) = e^x$ より $f_2 (0)$ は奇数，裏表と出た場合 $f_2 (x) = e^x+xe^x$ で $f_2(0)$ は奇数である。2回目に裏が出た場合は $f_2 (0) = $ より偶数である。よって $p_2 = \dfrac{1}{2}$ である。ゆえに $$p_N = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{N}{2}-1} \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2^{\frac{N}{2}}}$$ である。

$a$ を正整数として，この交換関係を用いると $$\begin{aligned} {\partial}^a x (f) &= {\partial}^{a-1}x{\partial} (f) + {\partial}^{a-1} (f)\\ &= ({\partial}^{a-2}x{\partial}+ {\partial}^{a-2}) {\partial}(f) + {\partial}^{a-1} (f)\\ &= \cdots \\ &= x {\partial}^{a} (f) + a {\partial}^{a-1} (f) \end{aligned}$$ を得る。

正整数 $a,b$ に対して，同様に計算する。

• $a < b$ の場合

$$\begin{aligned} {\partial}^a x^b (f) &= (x{\partial}^{a} + a{\partial}^{a-1}) x^{b-1} (f)\\ &= x{\partial}^a x^{b-1} + a x{\partial}^{a-1} x^{b-2} (f) \\ &\quad + a(a-1) {\partial}^{a-2} x^{b-2} (f)\\ &= \cdots\\ &= x \cdot ( x,{\partial}\ \text{の多項式} )\ (f) \\ &\quad +a(a-1) \cdots (a-b+1) {\partial}^{b-n} (f) \end{aligned}$$ を得る。

よって $$\begin{aligned} {\partial}^a x^b (e^x) (0) &= a(a-1) \cdots (a-b+1) \end{aligned}$$ と計算される。

• $a > b$ の場合

同様の計算をすると $\partial^a x^b (f) = x \cdot ( x,{\partial}\ \text{の多項式} )\ (f)$ と計算されるため，$x=0$ を代入すると $0$ になる。

$\:$

以上の議論から，表を連続で $a$ 回出す→裏を連続で $b = N-a$ 回出す場合，$a < b$ の場合は $f_N (0) = 0$ になる。また，$a > b \geqq 2$ の場合， $$a(a-1) \cdots (a-b+1) = {}_a \mathrm{P}_{b}$$ は連続する2つ以上の数の積であるため，偶数になる。

以上より $a = N-1, b = 1$ で，$N-1$ が奇数であるの場合のみ $f_N (0)$ が奇数になる。

ステップ2のときと同様にして $$\partial^{a_1} x^{b_1} \cdots \partial^{a_n} x^{b_n} \partial^{A} (e^x) (0)$$ （$a_1, \cdots , a_n, b_1, \cdots , b_n \neq 0$，$n \geqq 0$）が奇数となる場合を考察する。なお，$A$ は $0$ であってもよい。

ステップ2の議論から $a_1$ は奇数で $b_1=1$ である必要がある。

このとき， $$\begin{aligned} \partial^{a_1} x \partial^{a_2} z^{b_2} &= x \partial^{a_1+a_2} x +a_1 \partial^{a_1+a_2-1} x^{b_2} \end{aligned}$$ となるため，$x=0$ を代入することを考えれば2項目のみ考えればよく，$a_1+a_2-1$ が奇数で $b_2=1$ である必要がある。$a_1$ が奇数であることと合わせると $a_2$ が奇数であることが条件である。

以上帰納的に議論をすることで条件，

• $n \geqq 0$ で $a_1, a_2, \cdots , a_{n}$ が奇数，$b_1 = b_2 = \cdots = b_{n} = 1$

を満たす場合，奇数となる。

※ $n=0$ の場合は $\{ a_1, \cdots , a_n , b_1 , \cdots , b_n \}$ は空となり自動的に条件を満たすものとする。

$c_k = a_k+ 1 \ (1 \leqq l \leqq k)$ とおく。$\{ c_k \}$ を用いると条件は

• $n \geqq 0$，$c_1, c_2, \cdots , c_{n}$ が偶数，$A$ は非負整数で $c_1+ c_2 + \cdots + c_n = N-A$ である。（$n=0$ の場合，左辺は $0$ として扱う）

である。よってこのような偶数列を数え上げればよい。

$$\ast \ast \ast$$

• $N$ が偶数の場合

このとき $N=2M \ (M \geqq 1)$ と表すことができる。このとき，$A$ も偶数になるため $A = 2B$ と表す。

辺々を2で割ることにより

• $n \geqq 0$，$d_1, d_2, \cdots , d_{n}$ が正の整数，$B$ は非負整数で $d_1+ d_2 + \cdots + d_n = M-B$ である。（$n=0$ の場合，左辺は $0$ として扱う）

を満たす $(d_1 , d_2 , \cdots , d_n , B)$ の個数を調べればよい。

$n > 0$，$B < M$ を固定したとき，和が $M-B$ となる $(d_1, \cdots , d_n)$ の組は ${}_{M-B-1} \mathrm{C}_{n-1}$ である。

$n$ についての和を取ることで $B < M$ を固定したときに条件を満たす数の組の個数が分かる。計算すると $$\sum_{n=1}^{M-B} {}_{M-B-1} \mathrm{C}_{n-1} = 2^{N-B-1}$$ である。$B=M$ のとき，条件を満たすものは $1$ 組である。

各 $B$ について和を取ることで，条件を満たす $(d_1,d_2, \cdots , d_n , B)$ の組み合わせは $$S_{2M} = 1 + \sum_{B=0}^{M-1} 2^{M-B-1} = 2^M$$ であることが分かる。

• $N$ が奇数の場合

先ほど同様に $N = 2M+1\ (M \geqq 0)$，$A = 2B+1$ と表すことができる。

この場合も条件は

• $n \geqq 0$，$d_1, d_2, \cdots , d_{n}$ が正の整数，$B$ は非負整数で $d_1+ d_2 + \cdots + d_n = M-B$ である。（$n=0$ の場合，左辺は $0$ として扱う）

である。$M \geqq 1$ のとき，同様に計算すると $$S_{2M+1} = 2^M$$ となる。$M=0$ の場合は $B=1$ の1通りのみであるため，上の式は条件を含む。

ステップ4より求める確率 $p_N$ は次のようになる。

• $N$ が偶数の場合 $$p_N = \dfrac{S_N}{2^N} = \dfrac{2^{\frac{N}{2}}}{2^N} = \dfrac{1}{2^{\frac{N}{2}}}$$
• $N$ が奇数の場合 $$p_N = \dfrac{S_N}{2^N} = \dfrac{2^{\frac{N-1}{2}}}{2^N} = \dfrac{1}{2^{\frac{N+1}{2}}}$$