sin、cos、tan の意味

更新日時 2022/08/28

sin, cos, tan(三角比・三角関数)について基礎からわかりやすく説明します。

目次
  • sin, cos, tan の意味【基本】

  • マイナスや90°以上の場合のsin,cos,tan

  • 関連する用語

  • sin, cos, tanの応用例

sin, cos, tan の意味【基本】

sin, cos, tan とは

(図のように θ\theta を含む直角三角形を描いたもとで)

sin, cos, tan とは

  • sinθ\sin \theta とは 対辺の長さ/斜辺の長さ のこと
  • cosθ\cos \theta とは 底辺の長さ/斜辺の長さ のこと
  • tanθ\tan \theta とは 対辺の長さ/底辺の長さ のこと

つまり,sinθ\sin\theta で1つの数を表します。

例えば sin45\sin 45^{\circ} について考えます。

4545^{\circ} を含む直角三角形は,右上も 4545^{\circ} になるので二等辺三角形です。 pic02

底辺対辺の長さを1とすると,三平方の定理より斜辺の長さは 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} となります。

よって,sin45=12\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} となります。

同じように,cos45=12\cos 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}tan45=1\tan 45^{\circ}=1 です。

覚え方

sin\sin は「s」の筆記体で覚えましょう。
cos\cos は「c」で覚えましょう。
tan\tan は「t」で覚えましょう。 pic03

練習問題

sin60\sin 60^{\circ}cos60\cos 60^{\circ}tan60\tan 60^{\circ} をそれぞれ求めよ。

解答

6060^{\circ} を含む直角三角形は「正三角形の半分」。よって斜辺の長さを2とすると底辺は1。対辺の長さは三平方の定理より 2212=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}

よって,sin60=32\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos60=12\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}tan60=3\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}

マイナスや90°以上の場合のsin,cos,tan

一般角

  • 0<θ<900^{\circ}<\theta<90^{\circ} の場合は,さきほどみたように直角三角形を使って sinθ,cosθ,tanθ\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta が定義されました。
  • θ\theta がマイナスの場合や,9090^{\circ} 以上の場合は,円を使って定義されます。
sin,cos,tan の定義

任意の実数 θ\theta に対して

xx 軸の正の部分を原点中心に反時計回りに θ\theta だけ回転させた半直線と単位円の交点の座標を (cosθ,sinθ)(\cos\theta,\sin\theta) と定義する。

sct2

また(cosθ0\cos\theta\neq 0 のもとで),tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} と定義する。

0<θ<900<\theta<90^{\circ} の場合,この定義は,さきほどの直角三角形による定義と一致します。

関連する用語

弧度法

  • 角度を表すときに,数学II以降では「度」より「ラジアン」を使うことが多いです。

  • sin45\sin 45^{\circ} と書かずに sinπ4\sin\dfrac{\pi}{4} と書くことが多いです。

  • ラジアン(弧度法)については弧度法の意味と度数法に対するメリットで詳しく解説しています。

三角比・三角関数

  • sinθ,cosθ,tanθ\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta のことをまとめて三角比と呼びます。
  • θ\theta を入力として値を返す関数とみなせるので三角関数と呼ぶこともあります。
  • 数学Iでは三角比,数学II以降では三角関数と呼ぶことが多いです。あまり区別する必要はありません。

読み方

sin, cos, tanの応用例

三角関数を習いたてだと
「三角関数は何の役に立つのか? なぜ三角関数を学ぶのか?」と思うかもしれません。

三角関数を学ぶのは単に入試の役に立つだけではなく社会の役に立つからです。例えば,

  • 測量:角度から長さを求めたり,長さから角度を求めるのに使えます。

  • 物理現象の記述:例えば電気回路や振り子の計算でsin,cosが登場します。

  • ゲーム制作:例えば物体を回転させた位置を計算するのに使えます。

  • 音波など波の分析:フーリエ級数展開・フーリエ変換という分野でsin,cosが登場します。

私も習いたてのころは「1つの数を表すのに sinθ\sin\theta などと4文字も使って長いなあ,何の役に立つか分からない」と思っていました。