三角方程式の解き方

$\cos\theta=t$ と置く。ただし，$-1\leq t\leq 1$ である。このとき

$$\begin{aligned} t^{2}+2t+1 &=0\\ (t+1)^{2} &=0\\ t&=-1 \end{aligned}$$

よって，$\cos\theta =-1$ より，

$$\theta =\pi$$

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$より $$\begin{aligned} (1-\sin^{2}\theta)-\sin\theta+1 &=0\\ \sin^{2}\theta+\sin\theta-2 &=0 \end{aligned}$$

$\sin\theta=t$ と置く。ただし，$-1 \leq t \leq 1$ である。このとき $$\begin{aligned} t^{2}+t-2 &=0\\ (t-2)(t+1) &=0 \end{aligned}$$

条件より，$t=-1$。よって

$$\sin\theta=-1$$

$$\therefore \theta=\dfrac{3}{2}\pi$$

倍角の公式より $\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta$ であるから， $$\begin{aligned} \cos2\theta-3\sin\theta-2=0\\ -2\sin^{2}\theta-3\sin\theta-1=0 \end{aligned}$$

$\sin\theta=t$ と置く。ただし，$-1\leq t\leq 1$ である。このとき，

$$\begin{aligned} 2t^{2}+3t+1&=0\\ (2t+1)(t+1)&=0 \end{aligned}$$ $$\therefore t=-\dfrac{1}{2},-1$$

$\sin\theta=-\dfrac{1}{2},-1$ より

$$\theta=\dfrac{7}{6}\pi,\dfrac{11}{6}\pi,\dfrac{3}{2}\pi$$

三角関数の合成公式より与式は $$\begin{aligned} \sqrt{2}\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)&=1\\ \sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)&=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$ ここで条件より，$$-\dfrac{\pi}{4}\leq 2\theta-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{15\pi}{4}$$なので $$\begin{aligned} 2\theta-\dfrac{\pi}{4}&=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3}{4}\pi,\dfrac{9}{4}\pi,\dfrac{11}{4}\pi\\ 2\theta&=\dfrac{\pi}{2},\pi,\dfrac{5}{2}\pi,3\pi\\ \therefore \theta&=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5}{4}\pi,\dfrac{3}{2}\pi \end{aligned}$$