直積（2つの集合の直積から無限個の場合まで）

$A$ と $B$ の直積集合とは「$A$ と $B$ から1つずつとってきたペアをすべて集めた集合」です。

ここでいう「ペア」は順番を考慮します。つまり，$A\times B$ の各要素 $(a,b)$ は順序対です。例えば，$(1,3)\neq (3,1)$ です。よって，一般に $A\times B\neq B\times A$ です。

直積集合の要素数

$A,B$ は有限集合とします。直積集合の要素数は，要素数の積と等しいです： $$|A\times B|=|A|\times |B|$$ なぜなら，$A\times B$ の要素数について「$A$ の要素の選び方が $|A|$ 通り」でその各々に対して「$B$ の要素の選び方が $|B|$ 通り」であるためです。例えば，さきほどの例では $4=2\times 2$ になっています。

• 3つ以上の集合の直積も同様に定義されます。例えば， $A_1=\{1,2\},A_2=\{3,4\},A_3=\{5,6\}$ のとき， $A_1\times A_2\times A_3$ は $(1,3,5)$ や $(1,3,6)$ など合計 $8$ 個の要素からなる集合です。

• 同じ集合の直積を考えることもあります。$A$ と $A$ の直積を $A^2$ と書くことがあります。例えば，$A=\{1,2\}$ のとき $A^2=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ です。

• 無限集合の直積を考えることもあります。例えば実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に対して，直積 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$ を考えることは多いです（高校数学で習う座標平面を $\mathbb{R}^2$ と表すことがあります）。

有限個の集合の直積 $A_1\times A_2\times \cdots \times A_n=\displaystyle\prod_{\lambda=1}^nA_{\lambda}$ はわかりやすいですが，無限個になると少し難しくなります。

有限集合とは限らない集合 $\Lambda$ で添字づけられた集合族 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ の直積集合を考えてみましょう。

いきなり「$\Lambda$ から $\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ への写像 $f$」が出てきてわかりにくいです。例を見ながら理解しましょう。

可算無限の例

可算無限個の直積は「数列」っぽいです。

非可算無限の例

非加算無限の直積は「関数」っぽいです。

例1や例3のように，$A_{\lambda}$ が $\lambda$ に依存しないとき，つまり同じ集合たちの直積集合を $\displaystyle\prod_{\lambda\in\mathbb{N}}A=A^{\mathbb{N}} ,\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}A=A^{\mathbb{R}}$ などと書くことがあります。

ここまでは集合の直積を考えました。これをもとに「群の直積」「環の直積」「位相空間の直積」などいろいろな対象の直積を考えることができます。

ここでは，例として群の直積を紹介します。

群とは，群の公理と呼ばれる条件を満たす集合（と演算のペア）のことです。→群の定義といろいろな具体例