直積（2つの集合の直積から無限個の場合まで）

更新 2024/06/26

（集合の）直積

2つの集合 $A$ , $B$ に対して「 $A$ と $B$ から1つずつとってきたペアをすべて集めた集合」のことを $A$ と $B$ の直積集合といい， $A\times B$ と表す。つまり， $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$

直積（direct product，Cartesian product) についてわかりやすく説明します。

直積の意味と簡単な例

$A$ と $B$ の直積集合とは「 $A$ と $B$ から1つずつとってきたペアをすべて集めた集合」です。

例

$A=\{1,2\},B=\{3,4\}$ のとき， $A\times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$ $B\times A=\{(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)\}$

ここでいう「ペア」は順番を考慮します。つまり， $A\times B$ の各要素 $(a,b)$ は順序対です。例えば， $(1,3)\neq (3,1)$ です。よって，一般に $A\times B\neq B\times A$ です。

直積集合の要素数

$A,B$ は有限集合とします。直積集合の要素数は，要素数の積と等しいです： $|A\times B|=|A|\times |B|$ なぜなら， $A\times B$ の要素数について「 $A$ の要素の選び方が $|A|$ 通り」でその各々に対して「 $B$ の要素の選び方が $|B|$ 通り」であるためです。例えば，さきほどの例では $4=2\times 2$ になっています。

直積集合のさらなる例

3つ以上の集合の直積も同様に定義されます。例えば， $A_1=\{1,2\},A_2=\{3,4\},A_3=\{5,6\}$ のとき， $A_1\times A_2\times A_3$ は $(1,3,5)$ や $(1,3,6)$ など合計 $8$ 個の要素からなる集合です。
同じ集合の直積を考えることもあります。 $A$ と $A$ の直積を $A^2$ と書くことがあります。例えば， $A=\{1,2\}$ のとき $A^2=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ です。
無限集合の直積を考えることもあります。例えば実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に対して，直積 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$ を考えることは多いです（高校数学で習う座標平面を $\mathbb{R}^2$ と表すことがあります）。

無限個の直積

有限個の集合の直積 $A_1\times A_2\times \cdots \times A_n=\displaystyle\prod_{\lambda=1}^nA_{\lambda}$ はわかりやすいですが，無限個になると少し難しくなります。

有限集合とは限らない集合 $\Lambda$ で添字づけられた集合族 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ の直積集合を考えてみましょう。

一般的な直積の定義

集合族 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対して，それらすべての直積集合 $\displaystyle\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ は以下で定義される： $\displaystyle\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{f:\Lambda\to \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\:\middle|\: f(\lambda)\in A_{\lambda}\:(\lambda\in\Lambda)\right\}$

いきなり「 $\Lambda$ から $\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ への写像 $f$ 」が出てきてわかりにくいです。例を見ながら理解しましょう。

可算無限の例

可算無限個の直積は「数列」っぽいです。

例1

添字集合が $\Lambda=\mathbb{N}$ （正の整数全体の集合）で， $A_{\lambda}=\{0,1\}\:(\lambda\in\Lambda)$ の場合を考えます。無限個の集合の直積 $A_1\times A_2\times A_3\times \cdots$ を考えましょう。

これは，各項が $0$ または $1$ である数列全体の集合です。

直積の定義をもとに正確に表すと，以下のようになります： $\displaystyle\prod_{\lambda\in\mathbb{N}}A_{\lambda}=\{f:\mathbb{N}\to\{0,1\}\}$

つまり「正の整数全体から $\{0,1\}$ への写像全体」です。

例2

$\Lambda=\mathbb{N}$ （正の整数全体の集合）， $A_{\lambda}=\{0,\lambda\}\:(\lambda\in\Lambda)$ に対して，無限個の集合の直積 $A_1\times A_2\times A_3\times \cdots$ を考えましょう。

これは，大雑把にいうと $\lambda$ 番目の項が $0$ または $\lambda$ である数列全体の集合です。

正確には，以下で定義されます： $\displaystyle\prod_{\lambda\in\mathbb{N}}A_{\lambda}=\{f:\mathbb{N}\to\{0,1,...\}\mid f(\lambda)\in \{0,\lambda\}\:(\lambda\in\Lambda)\}$

つまり「正の整数全体から $0$ 以上の整数全体への写像の中で，各 $\lambda$ に対して $f(\lambda)\in\{0,\lambda\}$ を満たすもの全体」です。

非可算無限の例

非加算無限の直積は「関数」っぽいです。

例3

$\Lambda=\mathbb{R}$ （実数全体の集合）， $A_{\lambda}=\{0,1\}\:(\lambda\in\Lambda)$ に対して，集合の直積 $\displaystyle\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}A_{\lambda}$ を考えましょう。

これは，値が $0$ または $1$ である実数上の関数全体の集合です： $\displaystyle\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}A_{\lambda}=\{f:\mathbb{R}\to\{0,1\}\}$

例1や例3のように， $A_{\lambda}$ が $\lambda$ に依存しないとき，つまり同じ集合たちの直積集合を $\displaystyle\prod_{\lambda\in\mathbb{N}}A=A^{\mathbb{N}} ,\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}A=A^{\mathbb{R}}$ などと書くことがあります。

群の直積

ここまでは集合の直積を考えました。これをもとに「群の直積」「環の直積」「位相空間の直積」などいろいろな対象の直積を考えることができます。

ここでは，例として群の直積を紹介します。

群とは，群の公理と呼ばれる条件を満たす集合（と演算のペア）のことです。→群の定義といろいろな具体例

群の直積

2つの群 $(G,\circ),(H,\bullet)$ に対して，集合の直積 $G\times H$ に属する元 $(g_1,h_1),(g_2,h_2)$ に対する演算 $*$ を $(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1\circ g_2,h_1 \bullet h_2)$ で定めると， $(G\times H,*)$ は群となる。これを $G$ と $H$ の群の直積という。

52枚のトランプは，4種の絵柄の集合と13種の数の集合の直積集合です。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！