有理数と無理数の意味といろいろな例

分母も分子も整数の分数で表せる数です。

有理数の例

• $\dfrac{5}{3},\dfrac{1}{2}$ などの分数は有理数です。たしかに $\dfrac{整数}{整数}$ の形ですね。

• $3$ などの整数も有理数です。$\dfrac{3}{1}$ のように，分母を1にすることで $\dfrac{整数}{整数}$ で表せるからです。

• $0$ も有理数です。 $\dfrac{0}{1}$ と表せるからです。

• $-2,-\dfrac{5}{3}$ も有理数です。マイナスでも $-2=\dfrac{-2}{1},-\dfrac{5}{3}=\dfrac{-5}{3}$ のように $\dfrac{整数}{整数}$ で表せるからです。

• (有限で終わる)小数も有理数です。例えば $0.12$ は $\dfrac{12}{100}$ のように表せるからです。

• $0.121212...$ のように同じ数を繰り返す循環小数も有理数です。→循環小数の意味と分数で表す方法など

有理数と分数の違い

• 有理数は $\dfrac{整数}{整数}$ という形の分数で表せます。
• ただし，分数は必ずしも有理数というわけではありません。例えば $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ や $\dfrac{\pi}{3}$ という分数は有理数ではありません。

無理数の例

• $\sqrt{2}$ は無理数です。以下のように証明できます。

• より一般に，$n$ が平方数でないなら $\sqrt{n}$ は無理数です。 ルート２が無理数であることの４通りの証明で詳しく解説しています。

• 数学IIIで習うネイピア数（自然対数の底）$e$ は無理数です。
  →ネイピア数eが無理数であることの証明

• $\sin 1^{\circ}$ や $\cos 1^{\circ}$ や $\tan 1^{\circ}$ は無理数です。
  →tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明

• 実は，円周率 $\pi$ も無理数であることが知られています。

有理数であることの確認は簡単でしたが，無理数であることの確認（証明）は大変な場合が多いです。

• 有理数は英語で rational number と言います。無理数は英語で irrational number と言います。ir は否定を表す接頭辞です。

• 有理数の集合を $\mathbb{Q}$ と書くことがあります。Qは商を表す Quotient の頭文字です。

• 無理数の集合を $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ と書くことがあります。 実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に属していて有理数ではないものという意味です。

• 有理数も無理数もギッシリあります！
  →有理数と無理数の稠密性

• 方程式の有理数解に関する定理は覚えておきましょう。
  →方程式の有理数解

• 無理数の無理数乗が有理数になることもあります。