有理数と無理数の意味といろいろな例

更新 2022/08/30

有理数と無理数についてまとめました。例をたくさん使ってわかりやすく説明します。

有理数と無理数

有理数とは

有理数の定義
有理数とは，整数整数\dfrac{整数}{整数}整数整数​ の形で表せる数のこと。
分母も分子も整数の分数で表せる数です。
有理数の例53,12\dfrac{5}{3},\dfrac{1}{2}35​,21​ などの分数は有理数です。たしかに 整数整数\dfrac{整数}{整数}整数整数​ の形ですね。
333 などの整数も有理数です。31\dfrac{3}{1}13​ のように，分母を1にすることで 整数整数\dfrac{整数}{整数}整数整数​ で表せるからです。
000 も有理数です。 01\dfrac{0}{1}10​ と表せるからです。
−2,−53-2,-\dfrac{5}{3}−2,−35​ も有理数です。マイナスでも −2=−21,−53=−53-2=\dfrac{-2}{1},-\dfrac{5}{3}=\dfrac{-5}{3}−2=1−2​,−35​=3−5​ のように 整数整数\dfrac{整数}{整数}整数整数​ で表せるからです。
(有限で終わる)小数も有理数です。例えば 0.120.120.12 は 12100\dfrac{12}{100}10012​ のように表せるからです。
0.121212...0.121212...0.121212... のように同じ数を繰り返す循環小数も有理数です。→循環小数の意味と分数で表す方法など
有理数と分数の違い有理数は 整数整数\dfrac{整数}{整数}整数整数​ という形の分数で表せます。
ただし，分数は必ずしも有理数というわけではありません。例えば 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}22​​ や π3\dfrac{\pi}{3}3π​ という分数は有理数ではありません。

無理数とは

無理数の定義

無理数とは，有理数ではない実数のこと。つまり， $\dfrac{整数}{整数}$ の形で表せない数のこと。

無理数の例

$\sqrt{2}$ は無理数です。以下のように証明できます。

証明

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。

このとき，互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\sqrt{2}=\dfrac{q}{p}$ とおける。

両辺二乗して分母を払うと， $2p^2=q^2$

左辺は $2$ の倍数なので $q^2$ は $2$ の倍数。よって $q$ は $2$ の倍数。

すると， $q^2$ は $4$ の倍数になるので， $p^2$ が $2$ の倍数。よって $p$ も $2$ の倍数。

これは $p$ と $q$ が互いに素であることに矛盾。

より一般に， $n$ が平方数でないなら $\sqrt{n}$ は無理数です。ルート２が無理数であることの４通りの証明で詳しく解説しています。
数学IIIで習うネイピア数（自然対数の底） $e$ は無理数です。
→ネイピア数eが無理数であることの証明
$\sin 1^{\circ}$ や $\cos 1^{\circ}$ や $\tan 1^{\circ}$ は無理数です。
→tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明
実は，円周率 $\pi$ も無理数であることが知られています。

有理数であることの確認は簡単でしたが，無理数であることの確認（証明）は大変な場合が多いです。

英語・記号・雑学

有理数は英語で rational number と言います。無理数は英語で irrational number と言います。ir は否定を表す接頭辞です。
有理数の集合を $\mathbb{Q}$ と書くことがあります。Qは商を表す Quotient の頭文字です。
無理数の集合を $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ と書くことがあります。実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に属していて有理数ではないものという意味です。
有理数も無理数もギッシリあります！
→有理数と無理数の稠密性
方程式の有理数解に関する定理は覚えておきましょう。
→方程式の有理数解
無理数の無理数乗が有理数になることもあります。

証明

無理数の無理数乗が有理数になる「例」を見つけよう。

$a=(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ について考える。

もし $a$ が有理数なら， $a$ が「例」になっている。

もし $a$ が無理数なら， $a^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{(\sqrt{2}\times\sqrt{2})}=2$ となるので $a^{\sqrt{2}}$ が「例」になっている。

「有理数とは分数のこと」という説明は間違いです。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！