球面上の多角形の面積と美しい応用

球面上の $n$ 角形は $(n-2)$ 個の球面上の三角形に分割できる。

よって，$(n-2)$ 個の三角形に定理を適用して辺々加えれば $n$ 角形の場合の公式を得る。

STEP1：多面体を球面に射影する

多面体に含まれる十分小さい球を考える。球の中心を $O$ ，半径を $R$ とする。

多面体上の任意の点 $A$ を，線分 $OA$ と球面の交点 $A'$ にうつす変換を考える。この変換で，多面体の頂点は球面上の一点に，多面体の辺は球面上の大円の一部にうつる。

よって，もとの多面体の $n$ 角形は球面上の $n$ 角形にうつる。

STEP2：球面の面積を $V,E,F$ で表す

もとの多面体の $n$ 角形の数を $c_n$ とおく。

球面の面積は分割された多角形の面積の和であるので冒頭の公式より，

$\dfrac{S}{R^2}=$ 全ての内角の和 $-\displaystyle\sum_{n} (n-2)\pi c_n$

• 一つの頂点の周りの角度は球面でも $2\pi$ なので，全ての内角の和は $2\pi V$
• 各面ごとに辺の本数を数えていくと，$\displaystyle\sum_{n}nc_n=2E$
• $\displaystyle\sum_{n}c_n=F$

以上より，$\dfrac{S}{R^2}=2\pi V-2\pi E+2\pi F$

これが $4\pi$ と等しいので，$V-E+F=2$ を得る。