ベクトルの内積の性質と公式

2つのベクトル $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ が平行
$\iff$ 2つのベクトルのなす角 $\theta$ は $0°$ または $180°$
$\iff$ $\cos\theta=\pm 1$
$\iff$ $||\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$
$\iff$ $|\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$

$|\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$
$\iff$ $(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2 = |\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2$
$\iff (a_1b_1+a_2b_2)^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$
$\iff (a_1b_2-a_2b_1)^2=0$
$\iff a_1b_2-a_2b_1=0$

内積の定義より， $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos\theta$$ 二つのベクトルが垂直である時，なす角は $90°$ であるので $\cos\theta = 0$ よって $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$$

1つめと内積の成分表示：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2$ からわかる。

図のように $C$ を定めると，この三角形の面積は $S = \dfrac{1}{2}\times|\overrightarrow{OB}| \times |\overrightarrow{AC}|$

となる。また，$|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{OA}|\sin\theta$ であるので， $$S = \dfrac{1}{2}\times|\overrightarrow{OB}| \times |\overrightarrow{OA}| \times \sin\theta$$ と変形できる。この式を変形すると， $$\begin{aligned} S =& \dfrac{1}{2}\times|\overrightarrow{OB}| \times |\overrightarrow{OA}| \times \sqrt{1-\cos\theta^2} \\ =& \dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2 |\overrightarrow{OB}|^2- (\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB})^2} \end{aligned}$$ と公式を得る。

1の結果と内積の成分表示を用いる。

$\overrightarrow{OA} = (a_1,a_2),\overrightarrow{OB} = (b_1,b_2)$ とすると，1の式は以下のように変形できる： $$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) - (a_1b_1 + a_2b_2)^2}\\ &=\dfrac{1}{2}\sqrt{a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2 - 2a_1b_1a_2b_2}\\ &=\dfrac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1| \end{aligned}$$