位置ベクトルの定義と基本例題の解説

更新日時 2021/11/16

位置ベクトルについて詳しく解説します。

  1. 位置ベクトルの意味
  2. 位置ベクトルの活用法(内分点や外分点,三角形の重心,外心の求め方)

の順に,例題を使いながら解説します。

目次
  • 位置ベクトルの定義・意味

  • 位置ベクトルの記号

  • 一般のベクトルの表し方

  • 位置ベクトルを用いた内分点・外分点の公式

  • 交点の位置ベクトル

  • 重心の位置ベクトル

  • 外心の位置ベクトル

  • 垂心の位置ベクトル

位置ベクトルの定義・意味

まず,ベクトルとは,向きと大きさを持つ量のことです。矢印(向きのある線分)と考えてもよいです。

そして,位置ベクトルとは「点の位置を表すベクトル」です。もう少し正確な定義は以下です:

位置ベクトルの定義

前提として,基準となる点 OO がある。

このとき,ベクトル OPundefined\overrightarrow{OP} のことを点 PP に対する位置ベクトルと呼ぶ。

基準となる点 OO のことを原点と呼びます。原点 OO があるとき,「OO を始点とするベクトル」と「点」は1対1に対応します。つまり,

  • どこかに点 PP をうつとベクトル OPundefined\overrightarrow{OP} が決まる
  • 逆に,OO を始点とするベクトル OQundefined\overrightarrow{OQ} を決めると,その終点 QQ が決まる

よって「ベクトル」で「点の位置」を表すことができます!

※「ベクトルで点の位置を表して何が嬉しいの?」と思うかもしれませんが,まずは位置ベクトルとは,原点 OO を前提として,点の位置を表すベクトルのことと理解してください。

位置ベクトルの記号

  • 位置ベクトルは,アルファベットの小文字で表すことが多いです。
  • 例えば,点 PP を表す位置ベクトルは pundefined\overrightarrow{p},点 AA を表す位置ベクトルは aundefined\overrightarrow{a} のように書くことが多いです。
  • AA を表す位置ベクトルが aundefined\overrightarrow{a} であることを,A(aundefined)A(\overrightarrow{a}) と書くことがあります。

一般のベクトルの表し方

一般のベクトルを位置ベクトルで表す公式

原点を OO として,2点 A(aundefined),B(bundefined)A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b}) を結ぶベクトル ABundefined\overrightarrow{AB} を位置ベクトルを用いて表すと, ABundefined=OBundefinedOAundefined=bundefinedaundefined \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}

例題

A(aundefined),B(bundefined),C(cundefined),D(dundefined)A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b}),C(\overrightarrow{c}),D(\overrightarrow{d}) とするとき,

(1) ABundefined+BCundefined\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} に対する位置ベクトルを求めよ。

(2) ABundefined+BCundefined+CDundefined\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} に対する位置ベクトルを求めよ。

解答

(1) まず,上記の公式を使うと
ABundefined=OBundefinedOAundefined=bundefinedaundefined,BCundefined=OCundefinedOBundefined=cundefinedbundefined\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} ,\\\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}

よって,

ABundefined+BCundefined=(bundefinedaundefined)+(cundefinedbundefined)=cundefinedaundefined\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\ =(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\\ =\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}

(2) 同じように,

CDundefined=dundefinedcundefined\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c} より,

ABundefined+BCundefined+CDundefined=dundefinedaundefined\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}

位置ベクトルを用いた内分点・外分点の公式

内分点,外分点については内分点,外分点の公式と証明を参照ください。

内分点,外分点の公式

AA の位置ベクトルを aundefined\overrightarrow{a},点 BB の位置ベクトルを bundefined\overrightarrow{b} とする。

  • AA と点 BBm:nm:n に内分する点 CC の位置ベクトル cundefined\overrightarrow{c}cundefined=naundefined+mbundefinedm+n\overrightarrow{c}=\dfrac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}

  • AA と点 BBm:nm:n に外分する点 DD の位置ベクトル dundefined\overrightarrow{d}dundefined=naundefined+mbundefinedmn\overrightarrow{d}=\dfrac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}

内分点,外分点についての問題

AA の位置ベクトルを aundefined\overrightarrow{a},点 BB の位置ベクトルを bundefined\overrightarrow{b},点 CC の位置ベクトルを cundefined\overrightarrow{c} とする。

(1) 線分 ABAB1:21:2 に内分する点 PP の位置ベクトルを求めよ。

(2) 線分 BCBC1:21:2 に外分する点 QQ の位置ベクトルを求めよ。

解答

(1) pundefined=2aundefined+bundefined1+2=2aundefined+bundefined3\overrightarrow{p}=\dfrac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{1+2}=\dfrac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}

(2) qundefined=2bundefined+cundefined12=2bundefinedcundefined\overrightarrow{q}=\dfrac{-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{1-2}=2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}

交点の位置ベクトル

例題

三角形 ABCABC について,線分 ABAB の中点を PPACAC の中点を QQ とする。

BQBQCPCP の交点を RR とするとき,ARundefined\overrightarrow{AR}ABundefined\overrightarrow{AB}ACundefined\overrightarrow{AC} で表わせ。

この例題は「AA を基準とする位置ベクトルに関する問題」とみなせます。B(bundefined),C(cundefined)B(\overrightarrow{b}),\:C(\overrightarrow{c}) として,他の点を bundefined,cundefined\overrightarrow{b},\:\overrightarrow{c} で表します。今回の目標は線分の交点 RR です。

解答

中点は 1:11:1 に内分する点なので,内分点の公式を用いると

APundefined=ABundefined2+AAundefined2=bundefined2,\overrightarrow{AP}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{AA}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{b}}{2},

AQundefined=ACundefined2+AAundefined2=cundefined2\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{AA}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{c}}{2}

が分かる。さらに,BR:RQ=s:1s,CR:RP=t:1tBR:RQ=s:1-s,\:CR:RP=t:1-t とすると

ARundefined=(1s)ABundefined+sAQundefined=(1s)bundefined+s2cundefinedARundefined=(1t)ACundefined+tAPundefined=(1t)cundefined+t2bundefined \begin{aligned} \overrightarrow{AR}&=\left(1-s\right)\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AQ} \\ &=\left(1-s\right)\overrightarrow{b}+\dfrac{s}{2}\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{AR}&=\left(1-t\right)\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AP} \\ &=\left(1-t\right)\overrightarrow{c}+\dfrac{t}{2}\overrightarrow{b} \end{aligned} bundefined\overrightarrow{b}cundefined\overrightarrow{c} は一次独立なので係数比較して 1s=t2s2=1t \begin{aligned} 1-s=\dfrac{t}{2} \\ \dfrac{s}{2}=1-t \end{aligned} を得る。これを解くと s=23,t=23s=\dfrac{2}{3},t=\dfrac{2}{3}

つまり,ARundefined=13ABundefined+13ACundefined\overrightarrow{AR}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}

解答中の一次独立についてはベクトルの一次独立,一次従属の定義と意味を参照ください。

このように,交点の位置ベクトルは,以下の2ステップで求められます。

  1. 求める位置ベクトルを,変数を用いて2通りの方法で立式する
  2. それらの式の係数を比較して変数を求める

重心の位置ベクトル

A,B,CA,B,C の位置ベクトルを aundefined,bundefined,cundefined\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} とすると,三角形 ABCABC の重心 GG の位置ベクトルは gundefined=aundefined+bundefined+cundefined3 \overrightarrow{g}=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3} となります。

証明します。証明には「重心は中線を 2:12:1 に内分する」という性質を使います。

重心の位置ベクトルの導出

BCBC の中点 MMBCBC1:11:1 に内分する点なので bundefined+cundefined2\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2} と書ける。

重心 GGAMAM2:12:1 に内分する点なので gundefined=13aundefined+23(bundefined+cundefined2)=aundefined+bundefined+cundefined3 \overrightarrow{g}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3} となる。

重心の性質に関する例題

三角形 ABCABC の重心を GG とするとき,次の式が成り立つことを証明せよ。

GAundefined+GBundefined+GCundefined=0undefined\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}

解答

GAundefined+GBundefined+GCundefined=(aundefinedgundefined)+(bundefinedgundefined)+(cundefinedgundefined)=aundefined+bundefined+cundefined3gundefined=aundefined+bundefined+cundefined3aundefined+bundefined+cundefined3=0undefined\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\\ =(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\\ =\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}\\ =\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\\ =\overrightarrow{0}

外心の位置ベクトル

例題

三角形 ABCABC において,AB=8,BC=7,CA=5AB=8,BC=7,CA=5 とする。 ABundefined=bundefined,ACundefined=cundefined\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c} とするとき外心 ARundefined\overrightarrow{AR}bundefined,cundefined\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} を用いて表せ。

解答

ARundefined=tbundefined+scundefined\overrightarrow{AR}=t\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c} と置く。

ABAB の中点を MM,辺 ACAC の中点を NN とすると,ABABMRMRACACNRNR は直交するので,

ABundefinedMRundefined=0,ACundefinedNRundefined=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MR}=0,\:\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{NR}=0

つまり, ABundefinedMRundefined=bundefined((t12)bundefined+scundefined)=0ACundefinedNRundefined=cundefined(tbundefined+(s12)cundefined)=0 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MR}=\overrightarrow{b} \cdot \left(\left(t-\dfrac{1}{2} \right)\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c}\right)=0 \\ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{NR}=\overrightarrow{c} \cdot \left(t\overrightarrow{b}+\left(s-\dfrac{1}{2} \right)\overrightarrow{c} \right)=0 となる。

bundefinedbundefined=64,bundefinedcundefined=20,cundefinedcundefined=25\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}= 64,\: \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20,\: \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=25 (この内積は後で求める→※)を代入すると,上の式は 64(t12)+20s=020t+25(s12)=0 64\left(t-\dfrac{1}{2}\right)+20s=0 \\ 20t+25\left(s-\dfrac{1}{2} \right)=0 この連立方程式を解くと, t=1124,s=215t=\dfrac{11}{24},\:s=\dfrac{2}{15} となる。したがって,求める外心 RR の位置ベクトルは ARundefined=1124bundefined+215cundefined\overrightarrow{AR}=\dfrac{11}{24}\overrightarrow{b}+\dfrac{2}{15}\overrightarrow{c}となる。

※最後にベクトルの内積を求める。上の状況では bundefinedbundefined=ABundefined2=64,cundefinedcundefined=ACundefined2=25\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{AB}|^2=64,\:\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=|\overrightarrow{AC}|^2=25
は簡単に求められる。

また,BCundefined2=cundefinedbundefined2=cundefined22bundefinedcundefined+bundefined2|\overrightarrow{BC}|^2=|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+|\overrightarrow{b}|^2 より 72=522bundefinedcundefined+827^2=5^2-2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+8^2 により bundefinedcundefined=20\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=20 となる。

このように,外心の位置ベクトルは「直交するという条件を式で表し」「連立方程式を解く」という流れで求められます。

ベクトルの内積については,ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさもご参照ください。

垂心の位置ベクトル

例題

三角形 ABCABC において,AB=8,BC=7,CA=5AB=8,\:BC=7,\:CA=5 とする。 ABundefined=bundefined,ACundefined=cundefined\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\:\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c} とするとき垂心 HH の位置ベクトルを bundefined,cundefined\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} を用いて表せ。

解答

ARundefined=sbundefined+tcundefined\overrightarrow{AR}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c} と置く。AHAHBCBC , ACACBHBH は直交するので, AHundefinedBCundefined=0,ACundefinedBHundefined=0\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\:\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BH}=0

つまり, AHundefinedBCundefined=(sbundefined+tcundefined)(cundefinedbundefined)=0ACundefinedBHundefined=cundefined((s1)bundefined+tcundefined)=0 \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC}=\left(s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c} \right) \cdot \left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\right)=0 \\ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BH}=\overrightarrow{c}\cdot ((s-1)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c})=0 となる。bundefinedbundefined=64,bundefinedcundefined=20,cundefinedcundefined=25\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}= 64,\: \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20,\: \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=25 を代入すると上の式は 44s+5t=020(s1)+25t=0 -44s+5t=0 \\ 20(s-1)+25t=0 この連立方程式を解くと,s=112,t=1115s=\dfrac{1}{12},\:t=\dfrac{11}{15} となる。

よって,求める垂心 HH の位置ベクトルは AOundefined=112bundefined+1115cundefined\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{12}\overrightarrow{b}+\dfrac{11}{15}\overrightarrow{c}

このように,垂心の位置ベクトルは「直交するという条件を式で表し」「連立方程式を解く」という流れで求められます。外心と垂心,似ています!

「位置ベクトル」と「座標」はとても似ています。