位置ベクトルの定義と基本例題の解説

位置ベクトルの定義・意味

まず，ベクトルとは，向きと大きさを持つ量のことです。矢印（向きのある線分）と考えてもよいです。
そして，位置ベクトルとは「点の位置を表すベクトル」です。もう少し正確な定義は以下です：
位置ベクトルの定義
前提として，基準となる点 OOO がある。
このとき，ベクトル OP→\overrightarrow{OP}OP のことを点 PPP に対する位置ベクトルと呼ぶ。
基準となる点 OOO のことを原点と呼びます。原点 OOO があるとき，「OOO を始点とするベクトル」と「点」は1対1に対応します。つまり，
どこかに点 PPP をうつとベクトル OP→\overrightarrow{OP}OP が決まる
逆に，OOO を始点とするベクトル OQ→\overrightarrow{OQ}OQ​ を決めると，その終点 QQQ が決まる
よって「ベクトル」で「点の位置」を表すことができます！
※「ベクトルで点の位置を表して何が嬉しいの？」と思うかもしれませんが，まずは位置ベクトルとは，原点 OOO を前提として，点の位置を表すベクトルのことと理解してください。

位置ベクトルの記号

位置ベクトルは，アルファベットの小文字で表すことが多いです。
例えば，点 $P$ を表す位置ベクトルは $\overrightarrow{p}$ ，点 $A$ を表す位置ベクトルは $\overrightarrow{a}$ のように書くことが多いです。
点 $A$ を表す位置ベクトルが $\overrightarrow{a}$ であることを， $A(\overrightarrow{a})$ と書くことがあります。

一般のベクトルの表し方

一般のベクトルを位置ベクトルで表す公式

原点を $O$ として，2点 $A(\overrightarrow{a})$ ， $B(\overrightarrow{b})$ を結ぶベクトル $\overrightarrow{AB}$ を位置ベクトルを用いて表すと， $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

例題

$A(\overrightarrow{a}),B(\overrightarrow{b}),C(\overrightarrow{c}),D(\overrightarrow{d})$ とするとき，

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ に対する位置ベクトルを求めよ。
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$ に対する位置ベクトルを求めよ。

解答

まず，上記の公式を使うと
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$ よって， $\begin{aligned} &\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\ &=(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\\ &=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \end{aligned}$
同じように， $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$ より， $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}$

位置ベクトルを用いた内分点・外分点の公式

内分点，外分点については内分点，外分点の公式と証明を参照ください。

内分点，外分点の公式

点 $A$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{a}$ ，点 $B$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{b}$ とする。

点 $A$ と点 $B$ を $m:n$ に内分する点 $C$ の位置ベクトル $\overrightarrow{c}$ は $\overrightarrow{c}=\dfrac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$
点 $A$ と点 $B$ を $m:n$ に外分する点 $D$ の位置ベクトル $\overrightarrow{d}$ は $\overrightarrow{d}=\dfrac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}$

内分点，外分点についての問題

点 $A$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{a}$ ，点 $B$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{b}$ ，点 $C$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{c}$ とする。

線分 $AB$ を $1:2$ に内分する点 $P$ の位置ベクトルを求めよ。
線分 $BC$ を $1:2$ に外分する点 $Q$ の位置ベクトルを求めよ。

解答

$\overrightarrow{p}=\dfrac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{1+2}=\dfrac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$
$\overrightarrow{q}=\dfrac{-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{1-2}=2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$

交点の位置ベクトル

例題

三角形 $ABC$ について，線分 $AB$ の中点を $P$ ， $AC$ の中点を $Q$ とする。

$BQ$ と $CP$ の交点を $R$ とするとき， $\overrightarrow{AR}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表わせ。

この例題は「 $A$ を基準とする位置ベクトルに関する問題」とみなせます。 $B(\overrightarrow{b}),\:C(\overrightarrow{c})$ として，他の点を $\overrightarrow{b},\:\overrightarrow{c}$ で表します。今回の目標は線分の交点 $R$ です。

解答

中点は $1:1$ に内分する点なので，内分点の公式を用いると

$\overrightarrow{AP}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{AA}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{b}}{2}\\ \overrightarrow{AQ}=\dfrac{\overrightarrow{AC}}{2}+\dfrac{\overrightarrow{AA}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{c}}{2}$

が分かる。さらに， $BR:RQ=s:1-s,\:CR:RP=t:1-t$ とすると

$\begin{aligned} \overrightarrow{AR}&=\left(1-s\right)\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AQ} \\ &=\left(1-s\right)\overrightarrow{b}+\dfrac{s}{2}\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{AR}&=\left(1-t\right)\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AP} \\ &=\left(1-t\right)\overrightarrow{c}+\dfrac{t}{2}\overrightarrow{b} \end{aligned}$ $\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ は一次独立なので係数比較して $\begin{aligned} 1-s=\dfrac{t}{2} \\ \dfrac{s}{2}=1-t \end{aligned}$ を得る。これを解くと $s=\dfrac{2}{3},t=\dfrac{2}{3}$

つまり， $\overrightarrow{AR}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

解答中の一次独立についてはベクトルの一次独立，一次従属の定義と意味を参照ください。

このように，交点の位置ベクトルは，以下の2ステップで求められます。

求める位置ベクトルを，変数を用いて2通りの方法で立式する
それらの式の係数を比較して変数を求める

重心の位置ベクトル

点 $A,B,C$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ とすると，三角形 $ABC$ の重心 $G$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{g}=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$ となります。

証明します。証明には「重心は中線を $2:1$ に内分する」という性質を使います。

重心の位置ベクトルの導出

辺 $BC$ の中点 $M$ は $BC$ を $1:1$ に内分する点なので $\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$ と書ける。

重心 $G$ は $AM$ を $2:1$ に内分する点なので $\overrightarrow{g}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$ となる。

重心の性質に関する例題

三角形 $ABC$ の重心を $G$ とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ。

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

解答

$\begin{aligned} &\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\\ &=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\\ &=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}\\ &=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\\ &=\overrightarrow{0} \end{aligned}$

外心の位置ベクトル

例題

三角形 $ABC$ において， $AB=8,BC=7,CA=5$ とする。 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$ とするとき外心 $\overrightarrow{AR}$ を $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ を用いて表せ。

解答

$\overrightarrow{AR}=t\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c}$ と置く。

辺 $AB$ の中点を $M$ ，辺 $AC$ の中点を $N$ とすると， $AB$ と $MR$ ， $AC$ と $NR$ は直交するので，

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MR}=0\\ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{NR}=0$

つまり， $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MR}=\overrightarrow{b} \cdot \left(\left(t-\dfrac{1}{2} \right)\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c}\right)=0 \\ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{NR}=\overrightarrow{c} \cdot \left(t\overrightarrow{b}+\left(s-\dfrac{1}{2} \right)\overrightarrow{c} \right)=0$ となる。

$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}= 64,\: \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20,\: \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=25$ （この内積は後で求める→※）を代入すると，上の式は $64\left(t-\dfrac{1}{2}\right)+20s=0 \\ 20t+25\left(s-\dfrac{1}{2} \right)=0$ この連立方程式を解くと， $t=\dfrac{11}{24},\:s=\dfrac{2}{15}$ となる。したがって，求める外心 $R$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{AR}=\dfrac{11}{24}\overrightarrow{b}+\dfrac{2}{15}\overrightarrow{c}$ となる。

※最後にベクトルの内積を求める。上の状況では $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{AB}|^2=64,\:\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=|\overrightarrow{AC}|^2=25$
は簡単に求められる。

また， $|\overrightarrow{BC}|^2=|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+|\overrightarrow{b}|^2$ より $7^2=5^2-2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+8^2$ により $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=20$ となる。

このように，外心の位置ベクトルは「直交するという条件を式で表し」「連立方程式を解く」という流れで求められます。

なお，最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉の問題103では，この問題の別解と計算ミスを減らすコツを紹介しています。

ベクトルの内積については，ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさもご参照ください。

垂心の位置ベクトル

例題

三角形 $ABC$ において， $AB=8,\:BC=7,\:CA=5$ とする。 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},\:\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$ とするとき垂心 $H$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ を用いて表せ。

解答

$\overrightarrow{AR}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$ と置く。 $AH$ と $BC$ , $AC$ と $BH$ は直交するので， $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC}=0,\:\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BH}=0$

つまり， $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC}=\left(s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c} \right) \cdot \left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}\right)=0 \\ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BH}=\overrightarrow{c}\cdot ((s-1)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c})=0$ となる。 $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}= 64,\: \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20,\: \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=25$ を代入すると上の式は $-44s+5t=0 \\ 20(s-1)+25t=0$ この連立方程式を解くと， $s=\dfrac{1}{12},\:t=\dfrac{11}{15}$ となる。

よって，求める垂心 $H$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{12}\overrightarrow{b}+\dfrac{11}{15}\overrightarrow{c}$

このように，垂心の位置ベクトルは「直交するという条件を式で表し」「連立方程式を解く」という流れで求められます。外心と垂心，似ています！

「位置ベクトル」と「座標」はとても似ています。