ロドリゲスの回転公式（3次元の回転行列）

ロドリゲスの回転公式を使ってみる。$\cos 180^{\circ}=-1$，$\sin 180^{\circ}=0$ より

$\overrightarrow{r'}=-(2,1,0)+2\times 2(1,0,0)=(2,-1,0)$

図のように $A,X,Y,Z$ を定める。（$Y$ は $X$ を $90^{\circ}$ 回転させた点。$x$ 軸が $AX$ で $y$ 軸が $AY$ である $xy$ 座標平面をイメージするとよい）

$\overrightarrow{AZ}=\overrightarrow{AX}\cos\theta+\overrightarrow{AY}\sin\theta$

より，

$\overrightarrow{r'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AZ}\\ =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AX}\cos\theta+\overrightarrow{AY}\sin\theta$

これに，以下を代入するとロドリゲスの回転公式になる。

• 正射影ベクトルの考え方より，$\overrightarrow{OA}=(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$
• $\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{r}-(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$
• $\overrightarrow{AY}$ は，$\overrightarrow{n}$ と $\overrightarrow{r}$ に垂直で長さが $|\overrightarrow{AX}|=|\overrightarrow{r}|\sin\angle AOX$ なので，外積の定義より $\overrightarrow{AY}=\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{r}$

今度は回転行列を使って計算してみる。$\cos 180^{\circ}=-1$，$\sin 180^{\circ}=0$，$n_y=n_z=0$ より

$R_{\theta}=2\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$

よって，回転後の座標は $R_{\theta}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$

ベクトル版の公式：

$(\cos\theta)\overrightarrow{r}+(1-\cos\theta)(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}+(\sin\theta)(\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{r})$

に各成分を代入すると，

• 第一項は $\begin{pmatrix}\cos\theta&0&0\\0&\cos\theta&0\\0&0&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

• 第二項は $(1-\cos\theta)\begin{pmatrix}n_x^2&n_xn_y&n_xn_z\\n_xn_y&n_y^2&n_yn_z\\n_xn_z&n_yn_z&n_z^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

• 第三項は $\begin{pmatrix}0&-n_z\sin\theta&n_y\sin\theta\\n_z\sin\theta&0&-n_x\sin\theta\\-n_y\sin\theta&n_x\sin\theta&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$

となり，足し合わせると $R_{\theta}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ となる。