線分の長さの求め方（2点間・放物線・二等辺三角形・弦）

2点間の距離の公式を用いる。

$$\begin{aligned} \mathrm{AB} &= \sqrt{(3-(-1))^2 + (3-1)^2}\\ &= \sqrt{4^2+2^2}\\ &= 2\sqrt{5} \end{aligned}$$

つまり長さは $2\sqrt{5}$

1. $C$ と $y=0$ の交点を求める。二次方程式 $$x^2+5x+3=0$$ の解は $x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$ である。よって交点は $\displaystyle \left( \dfrac{-5 \pm \sqrt{13}}{2},0 \right)$ となる。こうして切り取られる線分の長さは $$\left| \dfrac{-5 + \sqrt{13}}{2}-\dfrac{-5 - \sqrt{13}}{2} \right| = \sqrt{13}$$ となる。

2. $C$ と $y = 2x+2$ の交点を求める。 $$x^2+5x+3 = 2x+2\\ x^2 + 3x + 1 = 0$$ の解は $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ である。それぞれの $y$ 座標は $-1\pm \sqrt{5}$ である。よって線分の長さは $$\begin{aligned} &\sqrt{\left( \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2} - \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2} \right)^2+\{(-1 + \sqrt{5})-(-1 - \sqrt{5})\}^2}\\ &=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}\\ &= 5 \end{aligned}$$ となる。

$C$ と $y = 2x+2$ の交点の $x$ 座標は $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ である。

直線 $y = 2x+2$ の傾きが $2$ であることから，2交点の線分の長さは $x$ 座標の差の $\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$ 倍になる。

よって線分の長さは $$\left( \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2} - \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2} \right) \cdot \sqrt{5}= 5$$ である。

$\mathrm{P} (t,0)$ とおく。2点間の距離の公式により $$\begin{aligned} \mathrm{AP} &= \sqrt{(t-(-1))^2+1^2}\\ &= \sqrt{t^2+2t+2}\\ \mathrm{PB} &= \sqrt{(t-3)^2+3^2}\\ &=\sqrt{t^2-6t+18} \end{aligned}$$ である。$\mathrm{AP} = \mathrm{PB}$ より $$\sqrt{t^2+2t+2} = \sqrt{t^2-6t+18}$$ である。両辺を2乗して $$t^2+2t+2 = t^2-6t+18$$ が得られる。これを解くと $t=2$，すなわち $\mathrm{P} (2,0)$ が得られる。

$\mathrm{P}$ から辺 $\mathrm{AB}$ に垂線をおろした足を $\mathrm{H}$ とおく。

条件から $\mathrm{AP}=\mathrm{PB}$ であるため，三角形 $\mathrm{ABP}$ は二等辺三角形である。よって $\mathrm{H}$ は辺 $\mathrm{AB}$ の中点になる。

よって，$\mathrm{H} (1,2)$ となる。

直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $$\dfrac{3-1}{3-(-1)} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$ である。直線 $\mathrm{AB}$ と直線 $\mathrm{PH}$ は直交するため，直線 $\mathrm{PH}$ の傾きは $-2$ である。

よって直線 $\mathrm{PH}$ は，$(1,2)$ を通り傾き $-2$ の直線であるから，その式は $$\begin{aligned} y &= -2 (x-1) + 2\\ &= -2x + 4 \end{aligned}$$ である。$\mathrm{P}$ は $x$ 軸上の点であるため，上の直線の式に $y=0$ を代入すると $$0 = -2x+4\\ x = 2$$ が得られる。こうして $\mathrm{P} (2,0)$ である。

$C$ と $l$ の交点を求める。$C$ の式に $l$ の式を代入すると， $$x^2 + (x-1)^2 = 5\\ 2x^2 - 2x + 1 = 5\\ x^2 -x - 2=0$$ となり，$x = 2 , -1$ が得られる。

こうして $C$ と $l$ の交点は $(2,1) , (-1,-2)$ となる。2点間の距離の公式を用いることで弦の長さは $$\begin{aligned} \sqrt{(2-(-1))^2+(1-(-2))^2} &= \sqrt{3^2+3^2}\\ &= 3\sqrt{2} \end{aligned}$$ となる。

円 $C$ の中心を $\mathrm{O}$ とする。

$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$ のどちらも半径である。円の式より半径は $\sqrt{5}$ である。こうして $\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \sqrt{5}$ で三角形 $\mathrm{OAB}$ は二等辺三角形になる。

$\mathrm{O}$ から弦 $\mathrm{AB}$ におろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする。$\mathrm{H}$ は $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ の中点となる。

三平方の定理から次の式が得られる。 $$\begin{aligned} \mathrm{AB} &= 2 \mathrm{AH}\\ &= 2 \sqrt{\mathrm{OA}^2 - \mathrm{OH}^2} \end{aligned}$$

線分 $\mathrm{OH}$ の長さは，点 $\mathrm{O} (0,0)$ と直線 $l$ の距離である。$l$ は $x-y-1=0$ と表される。点と直線の公式から $$\begin{aligned} \mathrm{OH} &= \dfrac{|0-0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$ である。こうして $$\begin{aligned} \mathrm{AB} &= 2 \sqrt{\mathrm{OA}^2 - \mathrm{OH}^2}\\ &=2 \sqrt{5 - \dfrac{1}{2}}\\ &= 2 \sqrt{\dfrac{9}{2}}\\ &= 3\sqrt{2} \end{aligned}$$ となる。