垂足三角形の意味と5つの性質

$AP$ が $\angle RPQ$ の二等分線であることを証明する。

• 四角形 $RHPB$ は直角が2つあり，円に内接する四角形である。よって円周角の定理より $\angle HPR=\angle HBR$
• 同様に四角形 $BRQC$ も円に内接する四角形であり，円周角の定理より $\angle HBR=\angle HCQ$
• 同様に四角形 $HQCP$ も円に内接する四角形であり，円周角の定理より $\angle HCQ=\angle HPQ$

よって，$\angle HPR=\angle HPQ$

同様に $BQ,CR$ も角の二等分線である。よって，$H$ は三角形 $PQR$ の内心。

三角形 $ABC$ と $AQR$ は相似であり，相似比は $AB:AQ=c:c\cos A=1:\cos A$

よって，$RQ=a\cos A$ 正弦定理と倍角の公式を使って変形すると，

$RQ=2R\sin A\cos A=R\sin 2A$

$QP,PR$ も同様に計算できて，周の長さは

$R(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$

となる。このままでもよいが，三角形の内角における和積公式を使うと上式は

$4R\sin A\sin B\sin C$ となる。

$P$ を $AB$ に関して折り返した点を $P_1$ とし，$AC$ に関して折り返した点を $P_2$ とする。

$PR+RQ+QP=P_1R+RQ+QP_2\leq P_1P_2$

よって，$P$ を固定したとき，$L$ の最小値は $P_1P_2$ の長さと等しい。

次に最適な $P$ を求める。二等辺三角形 $AP_1P_2$ に注目すると，

$P_1P_2=2AP_1\sin\left(\dfrac{2\times A}{2}\right)=2AP\sin A$

これが最小になるのは $AP$ と $BC$ が垂直なとき（※）。

同様に，$Q,R$ も垂線の足であることがわかるので，最小値を達成するのは垂足三角形の場合。

三角形 $ARQ$ の面積は，

$S\times\dfrac{AR}{AB}\times\dfrac{AQ}{AC}\\ =S\times\dfrac{AC\cos A}{AB}\times\dfrac{AB\cos A}{AC}\\ =S\cos^2A$

同様に，三角形 $BPR$ と $CPQ$ の面積も求めて全体から引くと，求める面積は

$S-S\cos^2A-S\cos^2B-S\cos^2C\\ =S-S\times\dfrac{3-\cos 2A-\cos 2B-\cos 2C}{2}\\ =-\dfrac{S}{2}(1+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C)$

ここで，三角形の内角における和積公式を使うと上式は

$2S\cos A\cos B\cos C$ となる。