ドーナツ（トーラス体・円環体）の体積・表面積を2通りの方法で計算

• 回転させる前の円の面積は $\pi r^2$
• 回転させるときに円の重心（中心）が動く距離は $2\pi R$

よって，体積は，パップスギュルダンの定理より

$\pi r^2\times 2\pi R=2\pi^2 r^2R$

回転軸を $x$ 軸とし，回転する前の円の中心を $(0,R)$ とするような座標で考える。 円の式は $y=R\pm\sqrt{r^2-x^2}$

よって，回転体の体積を求める公式より，体積は

$\displaystyle\int_{-r}^{r}\pi(R+\sqrt{r^2-x^2})^2dx\\ -\displaystyle\int_{-r}^{r}\pi(R-\sqrt{r^2-x^2})^2dx\\ =\displaystyle\int_{-r}^r 4\pi R\sqrt{r^2-x^2}dx\\ =8\pi R\displaystyle\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx$

ここで，$x=r\sin\theta$ と置換すると，上式は

$8\pi R\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}r\cos\theta\cdot r\cos\theta d\theta\\ =8\pi r^2R\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}d\theta\\ =4\pi r^2R\left[\theta+\dfrac{\sin 2\theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ =2\pi^2 r^2R$

$R$ を固定して，体積と表面積を $r$ の関数とみなす。それぞれ $V(r),S(r)$ とおく。

すると，$\Delta r$ が十分小さいとき，

$V(r)+S(r)\Delta r\fallingdotseq V(r+\Delta r)$

となる（→補足）。変形すると，

$\dfrac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}\fallingdotseq S(r)$

$\Delta r\to 0$ の極限を考えると，$\dfrac{dV(r)}{dr}=S(r)$

よって，定理1の結果 $V(r)=2\pi^2 r^2R$ を $r$ で微分すると $S(r)=4\pi^2 rR$

体積の場合と同じく，円の式を

$y_1=R+\sqrt{r^2-x^2}$，$y_2=R-\sqrt{r^2-x^2}$ とおく。

表面積は，

$\displaystyle\int_{-r}^r 2\pi y_1\sqrt{1+y_1'^2}dx +\displaystyle\int_{-r}^r 2\pi y_2\sqrt{1+y_2'^2}dx$

となる。ここで，

$y_1'=(-x)\dfrac{1}{\sqrt{r^2-x^2}}$
$1+y_1'^2=1+\dfrac{x^2}{r^2-x^2}=\dfrac{r^2}{r^2-x^2}$

となり，$1+y_2'^2$ も同じ式になる。よって，表面積は

$\displaystyle\int_{-r}^r 2\pi\times 2R\times\dfrac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx$

ここで，$x=r\cos\theta$ と置換すると，上式は

$4\pi R\displaystyle\int_{\pi}^0\dfrac{-r\sin\theta}{\sin\theta}d\theta=4\pi^2 rR$