ペル方程式に関する基本的な性質まとめ

更新日時 2023/07/26

整数 $x$ と $y$ に関する不定方程式： $x^2-Dy^2=1$ をペル方程式と言う。

ペル方程式について，大学入試レベルで知っておくと便利な知識を整理しました。

より一般に， $x^2-Dy^2=n$ という形の不定方程式をペル方程式と呼ぶこともありますが，ここでは「ペル型方程式」と呼んで区別します。

二次の不定方程式をペル方程式に帰着させる

二次の不定方程式 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ の多くがペル型方程式に帰着できます。

例1

$3x^2-5y^2=4$

両辺 $3$ 倍して $3x=X, y=Y$ とおくと，

$X^2-15Y^2=12$ となりペル型方程式に帰着される。

$(x, y)$ が整数なら $(X,Y)$ も整数なので上記のペル型方程式の整数解 $(X,Y)$ が求まればもとの整数解も全て求まる。

例2

$x^2+2xy-y^2-3=0$

平方完成するとペル型方程式に帰着される：

$(x+y)^2-2y^2=3$

ここで， $x+y=X, y=Y$ とおくと，

$X^2-2Y^2=3$ となる。 $(x, y)$ が整数なら $(X,Y)$ も整数なので上記のペル型方程式の整数解 $(X,Y)$ が求まればもとの整数解も全て求まる。

ペル方程式についての性質

ペル方程式
x2−Dy2=1x^2-Dy^2=1x2−Dy2=1
 について考えます。
まず，(x,y)(x,y)(x,y)
 が解なら
(x,−y)(x,-y)(x,−y)
 なども解なので
x,yx,yx,y
 がともに非負である解を考えます。
次に，x=1,y=0x=1, y=0x=1,y=0
 は自明な解なのでそれ以外の解について考えます。
DDD
 が平方数の場合，左辺が
(x+Dy)(x−Dy)(x+\sqrt{D}y)(x-\sqrt{D}y)(x+D​y)(x−D​y)
 と因数分解できるので簡単に解けます。そこで，以下では
DDD が平方数でない場合の定理を述べます。
定理1

ペル方程式には必ず自明でない解が無限個存在する。
定理2

ペル方程式の解の中で
x+Dyx+\sqrt{D}yx+D​y
を最小にするような解を
(x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)
とおく。すると，自然数
nnn
を用いて

x+Dy=(x0+Dy0)nx+\sqrt{D}y=(x_0+\sqrt{D}y_0)^nx+D​y=(x0​+D​y0​)n
という形で書ける
(x,y)(x,y)(x,y)
もまたペル方程式の解であり，それで全てを尽くす。
定理3

上記の
(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)
を見つけるそれなりに速いアルゴリズムがある。

定理の証明は難しいので割愛します，より詳細を知りたい方はペル方程式(英語サイト)を参照して下さい。証明を知らなくても入試で不利になることはありません。定理2を背景とする問題はたまに出題されます。

ペル方程式の解について

初期解について定理2における (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​) を初期解と言います。初期解を求めてしまえば定理2によりペル方程式の一般解が求められます。
初期解を求めるのは時に難しい初期解を求めるのは簡単ではありません。例えば D=61D=61D=61 の場合だと初期解は (x0,y0)=(1766319049，226153980)(x_0,y_0)=(1766319049，226153980)(x0​,y0​)=(1766319049，226153980) です。直感では無理ですね。そこで定理3が活躍します。
歴史についてちょっとした小噺7世紀にインドの数学者ブラーマグプタはその著書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』で x2−92y2=1x^2 - 92 y^2 = 1x2−92y2=1 の初期解が (x0,y0)=(1151,120)(x_0 , y_0) = (1151,120)(x0​,y0​)=(1151,120) であることを証明しています。
ちなみに『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』は 000 について記述された本であると言われています。
解が無限に得られることについて追記定理2と関連して，ペル方程式の解が 111 つ見つかればそれをもとに無限個の解を作り出すことができます。→ブラーマグプタの恒等式 の一番下をご覧ください。
より一般のペル方程式一般のペル型方程式については定理1は成り立ちません。
例えば，x2−3y2=−1x^2-3y^2=-1x2−3y2=−1 について考えると，x2+1=3y2x^2+1=3y^2x2+1=3y2 となり平方剰余の考え方から左辺は絶対に 333 の倍数にならないので整数解は持ちません。→平方剰余と基本的な問題
連分数展開への応用連分数展開を用いるとペル方程式の解を構成できます。大雑把なイメージとしては x2−Dy2=1x^2-Dy^2=1x2−Dy2=1 の解は，x2≒Dy2x^2\fallingdotseq Dy^2x2≒Dy2 を満たすので，D\sqrt{D}D​ を有理数 xy\dfrac{x}{y}yx​ で近似するために連分数展開する……という感じです。
詳細は ペル方程式の連分数を用いた魔法の解法(tsujimotterのノートブック) をご参照ください。
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ペル方程式の世界はもっともっと広いですが，自分も深く理解していないので概観になってしまいましたm(__)m
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