レプユニット数

更新日時 2021/03/07

全ての桁が $1$ である整数をレプユニット数と言う。

$1$ ， $11$ ， $111$ などがレプユニット数です。Rep（繰り返し）Unit（ $1$ ）という意味です。

レプユニット数の性質

定理

$2$ と $5$ 以外の任意の素数 $p$ について，あるレプユニット数 $U$ が存在して， $U$ は $p$ の倍数となる。

レプユニット数の美しい性質です。証明してみます。

証明

$1$ が $k$ 個ならんだ数 $U_k$ は，等比数列の和の公式より，

$U_k=1+10+100+\cdots +10^{k-1}=\dfrac{10^k-1}{9}$

と表すことができる。さて，素数 $p$ に対して， $k$ を $p-1$ ととってみる。つまり，レプユニット数 $\dfrac{10^{p-1}-1}{9}$ について考える。

もし $p$ が $10$ と互いに素なら，フェルマーの小定理より， $10^{p-1}-1$ は $p$ の倍数となる。よって，さらに $p$ が $3$ の倍数でないなら， $\dfrac{10^{p-1}-1}{9}$ は $p$ の倍数となる。

よって， $2,3,5$ 以外の任意の素数 $p$ について，定理が成り立つ。また， $p=3$ のときは，例えば $111$ が $p$ の倍数となっている。

レプユニット数と素数

素数であるレプユニット数をレプユニット素数と言います。
例えば，111111
 はレプユニット素数ですが，
111=3×37111=3\times 37111=3×37
1111=11×1011111=11\times 1011111=11×101
11111=41×27111111=41\times 27111111=41×271
となり，合成数が続きます。U19U_{19}U19​，U23U_{23}U23​
 などがレプユニット素数になります。
なお，kkk
 が
444
 以上の偶数のとき，UkU_kUk​
 は
111111
 の倍数となる（→11の倍数の判定法）のでレプユニット素数ではないことが分かります。