レプユニット数

$1$ が $k$ 個ならんだ数 $U_k$ は，等比数列の和の公式より，

$U_k=1+10+100+\cdots +10^{k-1}=\dfrac{10^k-1}{9}$

と表すことができる。さて，素数 $p$ に対して，$k$ を $p-1$ ととってみる。つまり，レプユニット数 $\dfrac{10^{p-1}-1}{9}$ について考える。

もし $p$ が $10$ と互いに素なら，フェルマーの小定理より，$10^{p-1}-1$ は $p$ の倍数となる。よって，さらに $p$ が $3$ の倍数でないなら，$\dfrac{10^{p-1}-1}{9}$ は $p$ の倍数となる。

よって，$2,3,5$ 以外の任意の素数 $p$ について，定理が成り立つ。また，$p=3$ のときは，例えば $111$ が $p$ の倍数となっている。

$N=533333333$ を工夫して素因数分解する。
$3N=1599999999$ より，

$N=\dfrac{16\times 10^8-1}{3}$

分子は平方数の差なので因数分解公式を思い出すと，

$(2^2\times 10^4)^2-1^2\\ =(2^2\times 10^4+1)(2^2\times 10^4-1)\\ =(2^2\times 10^4+1)(2\times 10^2+1)(2\times 10^2-1)$

ここで，1つめのかっこの部分は $4x^4+1$ という形で，
複2次式の因数分解が使える：

$4x^4+1=(2x^2+1)^2-4x^2\\ =(2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1)$

つまり，$3N=221\times 181\times 201\times 199$

$N=221\times 181\times 67\times 199$

あとは，それぞれが素数かどうか判定すればよい。$17^2>221$ なので $13$ までの素数でわりきれるか確認すればよい。結局 $221=13\times 17$ でそれ以外は素数となり $$N=13\times 17\times 67\times 181\times 199$$