レプユニット数

更新日時 2021/03/07

全ての桁が $1$ である整数をレプユニット数と言う。

$1$ ， $11$ ， $111$ などがレプユニット数です。Rep（繰り返し）Unit（ $1$ ）という意味です。

レプユニット数の性質
レプユニット数と素数
$n$ 進法でのレプユニット数

レプユニット数の性質

定理

$2$ と $5$ 以外の任意の素数 $p$ について，あるレプユニット数 $U$ が存在して， $U$ は $p$ の倍数となる。

レプユニット数の美しい性質です。証明してみます。

証明

$1$ が $k$ 個ならんだ数 $U_k$ は，等比数列の和の公式より，

$U_k=1+10+100+\cdots +10^{k-1}=\dfrac{10^k-1}{9}$

と表すことができる。さて，素数 $p$ に対して， $k$ を $p-1$ ととってみる。つまり，レプユニット数 $\dfrac{10^{p-1}-1}{9}$ について考える。

もし $p$ が $10$ と互いに素なら，フェルマーの小定理より， $10^{p-1}-1$ は $p$ の倍数となる。よって，さらに $p$ が $3$ の倍数でないなら， $\dfrac{10^{p-1}-1}{9}$ は $p$ の倍数となる。

よって， $2,3,5$ 以外の任意の素数 $p$ について，定理が成り立つ。また， $p=3$ のときは，例えば $111$ が $p$ の倍数となっている。

レプユニット数と素数素数であるレプユニット数をレプユニット素数と言います。
例えば，111111
 はレプユニット素数ですが，
111=3×37111=3\times 37111=3×37
1111=11×1011111=11\times 1011111=11×101
11111=41×27111111=41\times 27111111=41×271
となり，合成数が続きます。U19U_{19}U19​，U23U_{23}U23​
 などがレプユニット素数になります。
なお，kkk
 が
444
 以上の偶数のとき，UkU_kUk​
 は
111111
 の倍数となる（→11の倍数の判定法）のでレプユニット素数ではないことが分かります。

$n$ 進法でのレプユニット数

ここまでは，10進法で考えてきましたが，一般に $n$ 進法で考えることもできます。→二進法

$n$ 進法で $1$ が $k$ 個並んだ数は， $\dfrac{n^{k}-1}{n-1}$ と表すことができます。この式から分かるように，二進法でのレプユニット素数はメルセンヌ素数と一致します。→完全数とメルセンヌ素数

久しぶりに高校数学の美しい記事が書けました！

この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！

レプユニット数

レプユニット数の性質

レプユニット数と素数

nnn 進法でのレプユニット数

$n$ 進法でのレプユニット数