1. 高校数学の美しい物語
  2. レプユニット数

レプユニット数

更新日時 2021/03/07

全ての桁が 11 である整数をレプユニット数と言う。

111111111111 などです。Rep(繰り返し)Unit(11 )という意味です。

目次
  • レプユニット数の性質

  • レプユニット数と素数

  • nn 進法でのレプユニット数

レプユニット数の性質

2255 以外の任意の素数 pp について,あるレプユニット数 UU が存在して,UUpp の倍数となる。

レプユニット数の美しい性質です。証明してみます。

証明

11kk 個ならんだ数 UkU_k は,等比数列の和の公式より,

Uk=1+10+100++10k1=10k19U_k=1+10+100+\cdots +10^{k-1}=\dfrac{10^k-1}{9}

と表すことができる。さて,素数 pp に対して,kkp1p-1 ととってみる。つまり,レプユニット数 10p119\dfrac{10^{p-1}-1}{9} について考える。

もし pp1010 と互いに素なら,フェルマーの小定理より,10p1110^{p-1}-1pp の倍数となる。よって,さらに pp33 の倍数でないなら,10p119\dfrac{10^{p-1}-1}{9}pp の倍数となる。

よって,2,3,52,3,5 以外の任意の素数 pp について,題意の性質が成り立つ。また,p=3p=3 のときは,例えば 111111pp の倍数となっている。

レプユニット数と素数

素数であるレプユニット数をレプユニット素数と言います。

例えば,1111 はレプユニット素数ですが,

111=3×37111=3\times 37

1111=11×1011111=11\times 101

11111=41×27111111=41\times 271

となり,合成数が続きます。 U19U_{19}U23U_{23} などがレプユニット素数になります。

なお,kk44 以上の偶数のとき,UkU_k1111 の倍数となる(→11の倍数の判定法)のでレプユニット素数ではないことが分かります。

nn 進法でのレプユニット数

ここまでは,10進法で考えてきましたが,一般に nn 進法で考えることもできます。→二進法

nn 進法で 11kk 個並んだ数は,nk1n1\dfrac{n^{k}-1}{n-1} と表すことができます。この式から分かるように,二進法でのレプユニット素数はメルセンヌ素数と一致します。→完全数とメルセンヌ素数

久しぶりに高校数学の美しい記事が書けました!

人気記事
  1. 高校数学の美しい物語
  2. レプユニット数