ガンマ関数の無限積表示と相反公式

$$\begin{aligned} \Gamma(x) &=\lim_{n\to\infty}\int_0^nt^{x-1}e^{-t}dt\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_0^nt^{x-1}\left(1-\dfrac{t}{n}\right)^{n}dt \end{aligned}$$

（→2つめの等号については後ほど補足）

$$I_n = \int_0^nt^{x-1}\left(1-\dfrac{t}{n}\right)^{n}dt$$ とおく。

$\dfrac{t}{n}=u$ と置換すると，

$$\begin{aligned} I_n &= n^{x} \int_0^1 u^{x-1} (1-u)^n du\\ &= n^x B(x,n+1) \end{aligned}$$

$\mathrm{B}$ はベータ関数 である。

ベータ関数の性質から

$$\begin{aligned} I_n &= n^x \dfrac{\Gamma (x) \Gamma (n+1)}{\Gamma (x+n+1)}\\ &= \dfrac{n^x n! \: \Gamma (x)}{(x+n) \cdots (x+1) x \Gamma (x)}\\ &= \dfrac{n^x n!}{x (x+1) \cdots (x+n)} \end{aligned}$$

となる。

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{\Gamma (x)} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^x n!} \prod_{k=0}^{n} (x+k)\\ &= \lim_{n \to \infty} x n^{-x} \prod_{k=1}^{n} \dfrac{x+k}{k}\\ &= x n^{-x} \prod_{s=1}^{n} e^{\frac{x}{s}} \prod_{k=1}^n \dfrac{x+k}{k} e^{-\frac{x}{k}} \end{aligned}$$ と変形される。

上の式の一部分を取り出して計算する。 $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} n^{-x} \prod_{s=1}^{n} e^{\frac{x}{s}} &=\lim_{n \to \infty} n^{-x} e^{x \left( 1+\frac{1}{2}+\cdots \right)}\\ &= \lim_{n \to \infty} n^{-x} e^{x \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \log n + \log n \right)}\\ &= e^{\gamma x} \lim_{n \to \infty} n^{-x} e^{x \log n}\\ &= e^{\gamma x} \lim_{n \to \infty} n^{-x} n^x\\ &= e^{\gamma x} \end{aligned}$$ こうして得られたものを代入すると， $$\begin{aligned} \dfrac{1}{\Gamma (x)} &= x n^{-x} \prod_{s=1}^{n} e^{\frac{x}{s}} \prod_{k=1}^n \dfrac{x+k}{k} e^{-\frac{x}{k}} \\ &= x e^{\gamma x} \lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^{n} \dfrac{x+k}{k} e^{- \frac{x}{k}} \\ &= x e^{\gamma x} \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1+\dfrac{x}{k} \right) e^{- \frac{x}{k}} \end{aligned}$$ となる．

$$\Gamma (z) \Gamma (1-z) = -z \Gamma (z) \Gamma (-z)$$

ここでワイエルシュトラスの無限積表示を用いると $$\begin{aligned} &\Gamma (z) \Gamma (1-z)\\ &= -z \Gamma (z) \Gamma (-z)\\ &= -z \cdot z^{-1} e^{-\gamma z} \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1+\dfrac{z}{k} \right)^{-1} e^{\frac{z}{k}} \\ &\qquad (-z)^{-1} e^{\gamma z} \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1-\dfrac{z}{k} \right)^{-1} e^{-\frac{z}{k}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\pi}{\pi z \left( 1-\dfrac{z^2}{1^2} \right) \cdots \left( 1-\dfrac{z^2}{n^2} \right)}\\ &= \dfrac{\pi}{\sin \pi z} \end{aligned}$$ となる。