岩澤分解

ステップ1

まず，$2\times 2$ 行列 $X$ を，回転行列と上三角行列の積で表します。グラム・シュミットの直交化 を使うだけです（知らない人はぜひ上記の記事を確認してください）。

行列を，縦ベクトル2本の集まりとみなし $X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}$ と表します。この2本のベクトルにグラム・シュミットの直交化 を用いると，互いに直交してノルムが $1$ のベクトル $p_1 , p_2$ が得られます。$P = \begin{pmatrix} p_1 & p_2 \end{pmatrix}$ とおきます。

$\| p_1 \| = 1$ なので $p_1 = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ -\sin \theta \end{pmatrix}$ と表せます。

$p_2$ はノルムが $1$ で上と直交するため $$p_2 = \begin{pmatrix} \cos \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\\ -\sin \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sin \theta\\ \cos \theta \end{pmatrix}$$ となります。よって $$\begin{pmatrix} p_1 &p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$ となります。

グラム・シュミットの直交化の結果を式で表すと， $$\begin{aligned} x_1 &= a p_1\\ x_2 &= b p_1 + d p_2 \end{aligned}$$ と表されます。行列で表すと $$\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 & p_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b\\ 0 & d \end{pmatrix}$$ と表現されます。

$U = \begin{pmatrix} a&b\\0&d \end{pmatrix}$ とおくと $X = PU$ です。

よって $$X = PU$$ と $X$ が「回転行列」と「上三角行列」の積に分解できました。

ステップ2

$U= \begin{pmatrix} a&b\\0&d \end{pmatrix} = \dfrac{1}{pr} \begin{pmatrix} r&-q\\0&p \end{pmatrix}$ でした。これは，

$$U = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \frac{b}{a}\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ となり，「対角行列」と「対角成分が $1$ である上三角行列」の積に分解できました。

$X = \begin{pmatrix} 2&3\\1&4 \end{pmatrix}$ を分解してみます。

ステップ1：シュミット直交化

行列を縦ベクトル2つと見ます。この2つのベクトルにシュミットの直交化をしてみましょう。

$$x_1 = \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}, \ x_2 = \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}$$

$$p_1 = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}$$ です。

$$\begin{aligned} &x_2 - (x_2 \cdot p_1) p_1\\ &= \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} - \dfrac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 4}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$ となるため， $$p_2 = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix}$$ となります。

$P = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2&-1\\1&2 \end{pmatrix}$ とおくと，$P^{-1} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 &1\\-1&2 \end{pmatrix}$ となり $$P^{-1} X = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 5&10\\0&5 \end{pmatrix}$$ のように $U$ が計算できます。

こうして $$X = PU=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2&-1\\1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{5}&2\sqrt{5}\\0&\sqrt{5} \end{pmatrix}$$ のように回転行列と上三角行列の積にできました。

ステップ2：対角成分を取り出す

$U$ を $$\begin{pmatrix} \sqrt{5}&0\\0&\sqrt{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&t\\0&1 \end{pmatrix}$$ という形に分解することを考えます。係数を比較すると $t=2$ がわかります。

$$\begin{pmatrix} \sqrt{5} & 2\sqrt{5} \\ 0 & \sqrt{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{5}&0\\0&\sqrt{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\0&1 \end{pmatrix}$$ となります。

まとめ

以上をまとめると

$$X = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2&-1\\1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{5}&0\\0&\sqrt{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\0&1 \end{pmatrix}$$ と分解できました。

具体的な分解方法も $2 \times 2$ の場合と同様です。

なお，直交行列は $P^{\top} P = I$ を満たす行列です。大きさが $1$ で互い直交するベクトルを並べると直交行列が得られます（詳しくは 直交行列の５つの定義と性質の証明 を確認してください）。

例題