線型写像とその例～行列・一次変換など

更新 2024/03/25

この記事では，線型写像について詳しく解説します。

高校数学でも登場する「線形性」に関するより深い話です（→ 高校数学における線形性の8つの例）

線型写像

$V,W$ を $K$ 上のベクトル空間とする。（ $K$ は体，例えば $\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ など）

写像 $p: V \to W$ が

$\phi (v_1 + v_2) = \phi (v_1) + \phi (v_2)$ （ $v_1 , v_2 \in V$ ）
$\phi (cv) = c \phi (v)$ （ $a \in K$ ， $v \in V$ ）

を満たすとき $\phi$ を線型写像（線型変換）という。

例

線型写像の例恒等写像VVV をベクトル空間とします。
恒等写像 id:V→V\mathrm{id} : V \to Vid:V→V は線型写像になります。
定数倍写像V=W=RnV = W = \mathbb{R}^nV=W=Rn とします。aaa を実数とします。
ϕ((x1,⋯ ,xn))=(ax1,⋯ ,axn)
\phi ((x_1 , \cdots , x_n)) = (ax_1 , \cdots , ax_n)
ϕ((x1​,⋯,xn​))=(ax1​,⋯,axn​)
と定めると，これは線型写像です。
行列倍写像V=RnV = \mathbb{R}^nV=Rn，Rm\mathbb{R}^mRm とします。AAA を m×nm \times nm×n 行列とします。
ϕ((x1,⋯ ,xn))=A(x1⋮xn)
\phi ((x_1 , \cdots , x_n)) = A \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}
ϕ((x1​,⋯,xn​))=A⎝⎛​x1​⋮xn​​⎠⎞​
と定めると，これは線型写像です。高校数学でも習っていた一次変換は線型写像というわけです。
微分と積分VnV_nVn​ を nnn 次以下の xxx 変数多項式から成るベクトル空間とします。
ϕ:Vn→Vn−1\phi : V_n \to V_{n-1}ϕ:Vn​→Vn−1​ を
ϕ(f)=dfdx
\phi (f) = \dfrac{df}{dx}
ϕ(f)=dxdf​
と定めると，これは線型写像です。
また ψ:Vn→Vn+1\psi : V_{n} \to V_{n+1}ψ:Vn​→Vn+1​ を
ψ(f)=∫0xf(t)dt
\psi (f) = \int_0^x f(t) dt
ψ(f)=∫0x​f(t)dt
と定めると，これは線型写像です。
トレーストレースとは，n×nn \times nn×n 実行列の集合 Mn(R)M_n (\mathbb{R})Mn​(R) から R\mathbb{R}R への
tr(A)=∑i=1nAii
\mathrm{tr} (A) = \sum_{i=1}^n A_{ii}
tr(A)=i=1∑n​Aii​
という写像でした。
定義から明らかに tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\mathrm{tr} (A+B) = \mathrm{tr} (A) + \mathrm{tr} (B)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)，tr(cA)=ctr(A)\mathrm{tr} (cA) = c \mathrm{tr} (A)tr(cA)=ctr(A)（A,B∈Mn(R)A,B \in M_n ( \mathbb{R})A,B∈Mn​(R)，c∈Rc \in \mathbb{R}c∈R）であるため，線型写像です。
線型写像ではない例三角関数ϕ:R→R\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}ϕ:R→R を ϕ(x)=sin⁡x\phi (x) = \sin xϕ(x)=sinx と定義すると，一般に sin⁡(x+y)≠sin⁡x+sin⁡y\sin (x+y) \neq \sin x + \sin ysin(x+y)=sinx+siny より，線型写像になりません。
行列式行列式は一般に線型写像ではありません。
例えば
det⁡(In+In)=∣2⋱2∣=2ndet⁡In+det⁡In=1+1=2\begin{aligned}
\det (I_n + I_n) &= \begin{vmatrix}
2&&\\
&\ddots&\\
&&2
\end{vmatrix}\\
&= 2^n\\
\det I_n + \det I_n &= 1 + 1\\
&= 2
\end{aligned}det(In​+In​)detIn​+detIn​​=∣∣​2​⋱​2​∣∣​=2n=1+1=2​
より，n≠1n \neq 1n=1 では線型性を満たしません。
※ n=1n=1n=1 で det⁡\detdet は恒等写像であるため線型写像です。

核と像

線型写像があれば，そこから「核」と「像」というベクトル空間が定まります。

定義

$\phi : V \to W$ を線型写像とする。

集合 $\{ v \in V \mid \phi (v) = 0 \}$ を $\phi$ の核といい， $\ker \phi$ とかく。

集合 $\{ \phi (v) \in W \mid v \in V \}$ を $\phi$ の像といい， $\mathrm{Im}\ \phi$ とかく。

核と像はベクトル空間を成す

核と像はベクトル空間になることを証明します。より一般に，以下の定理を証明しましょう（下記の定理において $W' = \{ 0 \}$ ， $V' = V$ とすると，線型写像の核と像がベクトル空間になることが分かります）。

定理

$V$ ， $W$ をベクトル空間， $V'$ ， $W'$ をそれぞれの部分空間とする。

$\phi : V \to W$ を線型写像とする。

$\phi^{-1} (W') = \{ v \in V \mid \phi (v) \in W' \}$ は $V$ の部分空間になる。

$\phi (V') = \{ \phi (v) \mid v \in V' \}$ は $W$ の部分空間になる。

証明

$v,v' \in \phi^{-1} (W)$ ， $c \in \mathbb{R}$ を任意に取る。 $\phi$ は線型写像であるため， $\begin{aligned} \phi (v+v') &= \phi (v) + \phi (v') \in W'\\ \phi (cv) &= c \phi (v) \in W' \end{aligned}$ である。よって $v+v',cv \in \phi^{-1} (W')$ であるため部分ベクトル空間になる。
同様

ベクトル空間の同型

定義

線型写像 $\phi : V \to W$ が同型写像であるとは，ある線型写像 $\psi : W \to V$ が存在して $\psi \circ \phi = \mathrm{id}_V$ ， $\phi \circ \psi = \mathrm{id}_W$ となることである。

このとき $\psi$ は $\phi$ の逆写像といいます。

同型の判定

線型写像 $\phi$ が全単射な写像である場合，（集合としての）逆写像は線型写像になります。

部分的にチェックしておきましょう。

和について分解すること

$\phi$ の集合の写像としての逆写像を $\psi$ と書く。

$v,w \in W$ を任意に取る。

$\begin{aligned} \psi (v+w) &= \psi (\phi \circ \psi (v) + \phi \circ \psi (w))\\ &= \psi (\phi (\psi (v) + \psi (w)) )\\ &= (\psi \circ \phi) (\psi (v) + \psi (w)))\\ &= \mathrm{id}_V (\psi (v) + \psi (w)))\\ &= \psi (v) + \psi (w) \end{aligned}$

スカラー倍は自分でやってみてください。

これより次が得られます。

定理

線型写像 $\phi : V \to W$ が同型であることと， $\phi$ が写像として単射かつ全射であることは同値である。

また，単射な線型写像は便利な性質を持っています。

定理

線型写像 $\phi : V \to W$ が単射であることと次の条件は同値である。

$\phi (v) = 0_W$ であれば $v = 0_V$

証明

$\phi$ が単射であるとする。

$v \in V$ を $\phi (v) = 0$ となる元とする。

$\phi$ は線型写像であるため $\phi (0_V) = 0_W = \phi (v)$ である。 $\phi$ は単射であるため $v = 0_V$ である。

$\phi$ が条件を満たすとする。

$v,w \in V$ を $\phi (v) = \phi (w)$ を満たす元とする。

移項すると $\phi (v) - \phi (w) = 0$ である。特に $\phi$ は線型写像であるため $\phi (v-w) = 0$ である。

条件より $v-w = 0_V$ ，つまり $v = w$ である。よって $\phi$ は単射である。

同型の例

例1～行列倍の線型写像

$A$ を $n \times n$ 行列とします。 $\phi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ を $A$ 倍写像とします。

$\phi$ が同型であるのは $A$ が正則行列（可逆）であるときです。

証明

$\psi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ を $x \mapsto A^{-1} x$ と定義する。

このとき $\begin{aligned} \psi \circ \phi (x) &= A^{-1} A x\\ &= x\\ \phi \circ \psi (x) &= A A^{-1} x\\ &= x \end{aligned}$ より $\phi$ は同型である。

例2～ $n$ 次元ベクトル空間は $\mathbb{R}^n$ と同型

定理

$V$ は $n$ 次元ベクトル空間とする。このとき $V$ と $\mathbb{R}^n$ は同型である。

証明

$V$ の基底を $\{ v_1, v_2, \cdots , v_n \}$ とする。

$\phi : V \to \mathbb{R}^n$ を $\displaystyle \phi \left( \sum_{i=1}^n a_i v_i \right) = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$ と定義する。

$\psi : \mathbb{R}^n \to V$ を $\psi \left( \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix} \right) = \sum_{i=1}^n a_i v_i$ と定義する。

このとき $\psi \circ \phi = \mathrm{id}_V, \quad \phi \circ \psi = \mathrm{id}_{\mathbb{R}^n}$ となるため，同型を与える。

同型定理

定理

$\phi : V \to W$ を線型写像とする。このとき $V / \ker \phi \simeq \mathrm{Im} \ \phi$

証明

$\psi : V/\ker \phi \to \mathrm{Im} \ \phi$ を $\psi ([v]) = \phi (v)$ と定義する。

$[v] = [w]$ となるような $w$ について $v-w \in \ker \phi$ より $\psi ([v]) - \psi ([w]) = \phi (v-w) = 0$ であるため，上の $\psi$ は代表元の取り方に寄らない。

$\psi$ が全単射な線型写像であることを示せばよい。

$\psi$ が線型写像であること $\begin{aligned} \psi ([v]) + \psi ([w]) &= \phi (v) + \phi (w)\\ &= \phi (v+w)\\ &= \psi ([v+w])\\ &= \psi ([v]+[w])\\ c\psi ([v]) &= c\phi (v)\\ &= \phi (cv)\\ &= \phi (c[v]) \end{aligned}$
単射であること
$[v] \in V/\ker \phi$ を $\psi ([v]) = 0$ となる元とする。 $0 = \psi ([v]) = \phi (v)$ より $v \in \ker \phi$ であるため $[v] = 0_{V/\ker \phi}$ である。
全射であること
$w \in \mathrm{Im} \ \phi$ を任意に取る。このとき，ある $v \in V$ があって $\phi (v) = w$ である。よって $\psi ([v]) = w$ である。

以上より $\psi$ は同型射である。

同型定理から次の次元定理が得られます。

次元定理

$\dim V = \dim \ker \phi + \dim \mathrm{Im}\ \phi$

→次元定理の意味，具体例，証明

線型写像は非常に重要な概念で，より深く代数学を勉強していく上でも同様の概念が頻繁に登場します。

線型写像とその例～行列・一次変換など

例

線型写像の例

恒等写像

定数倍写像

行列倍写像

微分と積分

トレース

線型写像ではない例

三角関数

行列式

核と像