ウォルステンホルムの定理

$\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{p-k}=\dfrac{p}{k(p-k)}$ である。これを $k=1$ から $k=\dfrac{p-1}{2}$ まで足し上げると $$H(p-1)=p\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\dfrac{1}{k(p-k)}\right)$$ となる。このシグマの部分を通分する。分母は $(p-1)!$ になり分子は $$N=\displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\dfrac{(p-1)!}{k(p-k)}$$ となる（シグマの中身はそれぞれ整数）。以上より $H(p-1)=\dfrac{pN}{(p-1)!}$ となるが，$p$ は $(p-1)!$ と互いに素なので $H(p-1)$ を既約分数で表したときの分子は $p$ の倍数。

$2N=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{(p-1)!}{k(p-k)}$ が $p$ の倍数であることを示せばよい。

以下，合同式は $\mathrm{mod}\:p$ で考え，$\mathrm{mod}\:p$ における $n$ の逆元を $n^{-1}$ と書く（つまり，$p$ の倍数でない $n$ に対して、$nx\equiv 1$ を満たす $x$ が $1\leq x\leq p-1$ にただ1つ存在するのでその $x$ を $n^{-1}$ と書く）。

各等号の理由は後述するが，以下のように示せる。 $$\begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{(p-1)!}{k(p-k)}\\ &\equiv \displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\{-k(p-k)\}^{-1}\\ &\equiv \displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}(k^2)^{-1}\\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}(k^{-1})^2\\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}k^2\\ &=p\times\dfrac{(p-1)(2p-1)}{6}\end{aligned}$$

$p$ は3の倍数でないので $(p-1)$ または $(2p-1)$ が3の倍数になる。よって，上式は $p$ の倍数。ただし，

• 1番最後の等号は，2乗和の公式からわかる
• その前の等号は，逆元が重複しないことからわかる。つまり，$\{1,2,...,p-1\}$ の逆元はすべて異なるので $\{1^{-1},2^{-1},...,(p-1)^{-1}\}$ と $\{1,2,...,p-1\}$ は集合として等しいことから。
• 最初の合同式は，ウィルソンの定理：$(p-1)!\equiv -1$ を使うと $$\dfrac{(p-1)!}{k(p-k)}\times \{-k(p-k)\}\equiv 1$$ がわかることから。