ウォルステンホルムの定理

$\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{p-k}=\dfrac{p}{k(p-k)}$ である。これを $k=1$ から $k=\dfrac{p-1}{2}$ まで足し上げると $$H(p-1)=p\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\dfrac{1}{k(p-k)}\right)$$ となる。このシグマの部分を通分する。分母は $(p-1)!$ になり分子は $$N=\displaystyle\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\dfrac{(p-1)!}{k(p-k)}$$ となる（シグマの中身はそれぞれ整数）。以上より $H(p-1)=\dfrac{pN}{(p-1)!}$ となるが，$p$ は $(p-1)!$ と互いに素なので $H(p-1)$ を既約分数で表したときの分子は $p$ の倍数。

$2N=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{(p-1)!}{k(p-k)}$ が $p$ の倍数であることを示せばよい。

以下，合同式は $\mathrm{mod}\:p$ で考え，$\mathrm{mod}\:p$ における $n$ の逆元を $n^{-1}$ と書く（つまり，$p$ の倍数でない $n$ に対して、$nx\equiv 1$ を満たす $x$ が $1\leq x\leq p-1$ にただ1つ存在するのでその $x$ を $n^{-1}$ と書く）。

各等号の理由は後述するが，以下のように示せる。 $$\begin{aligned}&\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{(p-1)!}{k(p-k)}\\ &\equiv \displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\{-k(p-k)\}^{-1}\\ &\equiv \displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}(k^2)^{-1}\\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}(k^{-1})^2\\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}k^2\\ &=p\times\dfrac{(p-1)(2p-1)}{6}\end{aligned}$$

$p$ は3の倍数でないので $(p-1)$ または $(2p-1)$ が3の倍数になる。よって，上式は $p$ の倍数。ただし，

• 1番最後の等号は，2乗和の公式からわかる
• その前の等号は，逆元が重複しないことからわかる。つまり，$\{1,2,...,p-1\}$ の逆元はすべて異なるので $\{1^{-1},2^{-1},...,(p-1)^{-1}\}$ と $\{1,2,...,p-1\}$ は集合として等しいことから。
• 最初の合同式は，ウィルソンの定理：$(p-1)!\equiv -1$ を使うと $$\dfrac{(p-1)!}{k(p-k)}\times \{-k(p-k)\}\equiv 1$$ がわかることから。

$$N=\{(p-1)!\}^2\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{k^2}$$ という整数が $p$ の倍数であることを示せばよい。

$$N=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\left\{\dfrac{(p-1)!}{k}\right\}^2$$ である。ここで，カッコの中身である $\dfrac{(p-1)!}{k}$ という整数たち（$k=1,...,p-1$）を $p$ で割ったあまりはすべて異なる（もし $k=k_1,k_2$ に対して余りが同じなら，差を通分した $\dfrac{(p-1)!(k_2-k_1)}{k_1k_2}$ が $p$ の倍数になるはずで矛盾）

よって，$\bmod p$ で $$N\equiv \sum_{k=1}^{p-1}k^2=\dfrac{(p-1)p(2p-1)}{6}\equiv 0$$

$f(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-(p-1))$ とおく。

$f(x)$ の $x^n$ の係数を $a_n$ とおくと，解と係数の関係より

1. $a_0=(p-1)!$
2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{k}=-\dfrac{a_1}{a_0}$
3. $\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{k^2}=\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{k}\right)^2-2\sum_{1\leq i<j\leq p-1}\dfrac{1}{ij}=\dfrac{a_1^2-2a_0a_2}{a_0^2}$

ここで，$a_0$ は $p$ の倍数ではないので，定理1と上記2より $a_1$ は $p^2$ の倍数。さらに，定理2と上記3より $2a_0a_2$ は $p$ の倍数。つまり $a_2$ は $p$ の倍数。

よって，$\bmod p^3$ で， $$\begin{aligned}&(p-1)!\times\{{}_{2p-1}\mathrm{C}_{p-1}-1\}\\ &=f(2p)-(p-1)!\\ &\equiv \{a_0+a_1(2p)+a_2(2p)^2\}-a_0\\ &=2p(a_1+2pa_2)\\ &=0\end{aligned}$$