調和数列

調和数列の問題は「逆数を取った数列を考える」「等差数列の考え方で解く」です。

引き続き，調和数列の問題は「逆数を取った数列を考える」「等差数列の考え方で解く」です。

初項が $a$ で公差が $d$ である等差数列の一般項は $a+(n-1)d$ と表せるので，調和数列の一般項は $$\dfrac{1}{a+(n-1)d}$$ と表せます。

調和級数

調和数列の中でも， $$\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},...$$ という単位分数を並べた数列の和： $$S_n=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{n}$$ は頻出です。

実は，$$\log(n+1)<S_n<1+\log n$$ であることが知られています。特に，$n\to\infty$ とした級数（調和級数）について $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\infty$ です。 →調和級数1+1/2+1/3…が発散することの３通りの証明

部分和は整数にならない

調和数列の $n$ 項目までの和をきれいな式で表すことはできませんが，以下の定理が知られています：

例えば，$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}$ などは，計算するまでもなく整数にはなりません。

参考：エジプト分数（単位分数の和）に関する4つの話題