リー群入門～定義と線型リー群の例

直ぐに分かるリー群の例をいくつか挙げましょう。

関連する定義

準同型

例えば包含写像 $\mathrm{SL}_n (\mathbb{R}) \to \mathrm{GL}_n (\mathbb{R})$ はリー群の準同型になります。

部分リー群

$\mathrm{SL}_n (\mathbb{R})$ は $\mathrm{GL}_n (\mathbb{R})$ の部分リー群になります。

性質

リー群論においては次に紹介する線型リー群というクラスが扱いやすく重要です。

線型リー群はもちろんリー群になります。（$\mathrm{GL}_n (\mathbb{C})$ はリー群で，その閉部分群はもちろんリー群です。）

$\mathrm{GL}_n (k)$ の位相構造

$\mathrm{GL}_n (k)$ は $n \times n$ 行列全体の集合の部分集合です。

$n \times n$ 行列全体の集合は自然に $k^{n^2}$ と見なせます。ここには自然な相構造が入ります。

$\mathrm{GL}_n (k)$ の位相構造を $k^{n^2}$ からの相対位相とします。つまり，開集合系を $$\{ O \cap \mathrm{GL}_n (k) \mid O \ \text{は} \ k^{n^2} \ \text{の開集合} \}$$ と定めます。

開集合・閉集合の例

完全に初学である人に向けて簡単な例を紹介します。

いくつかの性質

上で紹介したリー群の性質はそのまま線型リー群でも成り立ちます。

また閉集合の共通部分は閉集合であり，部分群の共通部分は部分群であるため，次が成立します。

$\mathbb{R}$，$\mathbb{C}$

$\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ は線型リー群になります。

実際，$\mathbb{R} \to \mathrm{GL}_{2} (\mathbb{R})$ を $t \mapsto \begin{pmatrix} e^t &0 \\0 & e^{-t} \end{pmatrix}$ により $\mathbb{R}$ は $\mathrm{GL}_2 (\mathbb{R})$ の閉部分群と見なせます。

特殊線型群

特殊線型群 $$\mathrm{SL}_n (k) = \{ A \in \mathrm{GL}_n (k) \mid \det A = 1 \}$$ は線型リー群です。

直交群

直交行列の集合 $$\{ X \in \mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) \mid X^{t} X = I_n \}$$ は群を成します。これを 直交群 $O(n)$ といいます。

直交群は線型リー群になります。

直交群と特殊線型群の共通部分 $$SO (n) = O(n) \cap \mathrm{SL}_n (\mathbb{R})$$ を特殊直交群といいます。これはリー群とリー群の共通部分であるため，もちろんリー群です。

ユニタリ群

ユニタリ行列の集合 $$\{ X \in \mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) \mid X^{\ast} X = I_n \}$$ はリー群となります。これを ユニタリ群 $U(n)$ といいます。

ユニタリ群と特殊線型群の共通部分 $$SU(n) = U(n) \cap \mathrm{SL}_n (\mathbb{C})$$ を特殊ユニタリ群といいます。

トーラスとボレル部分群

• $\mathrm{GL}_n (k)$ の元で対角行列の集合 $T$
• $\mathrm{GL}_n (k)$ の元で上三角行列の集合 $B$

はどちらも $\mathrm{GL}_n (k)$ の閉部分集合になります。（$T$ は例で紹介，$B$ も $T$ と同じように議論すればOKです。）

これらはどちらも部分群にもなるため，線型リー群となります。

$T$ を $\mathrm{GL}_n (k)$ のトーラス，$B$ を $\mathrm{GL}_n (k)$ のボレル部分群といいます。表現論において非常に重要な役割を果たします。

ハイゼンベルク群

$\mathrm{GL}_3 (k)$ の部分集合 $$\left\{ \left. \begin{pmatrix} 1 & a & b\\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right| a,b,c \in k \right\}$$ は線型リー群になります。（閉部分集合であることは例参照，部分群であることは簡単に計算できます。）

これをハイゼンベルク群といいます。