リー群入門~定義と線型リー群の例

定義

GGリー群であるとは,次の2条件を満たすことをいう。

  1. GG は多様体である。
  2. GG の演算(積および逆元を取る操作)は多様体の CC^{\infty} 級写像になる。

この記事ではリー群・リー環(リー代数)の入門として,定義と例を紹介します。

一見難しそうな定義ですが,特に扱いやすい GLn\mathrm{GL}_nn×nn\times n 正則行列全体の集合)に絞って考えると,これまで線型代数で勉強した様々な行列の集合がリー群を成していることに気付けるはずです。

簡単な性質と例

直ぐに分かるリー群の例をいくつか挙げましょう。

  1. Rn\mathbb{R}^nCn\mathbb{C}^n は加法についてリー群になる。
  2. C×=C\{0}\mathbb{C}^{\times} = \mathbb{C} \backslash \{ 0 \} は乗法についてリー群になる。
  3. S1={zCz=1}S^{1} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} は乗法についてリー群になる。
  4. GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R})GLn(C)\mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) はリー群になる(GLn\mathrm{GL}_nn×nn\times n の正則行列全体がなす群)。
  5. SLn(R)\mathrm{SL}_n (\mathbb{R})SLn(C)\mathrm{SL}_n (\mathbb{C}) はリー群になる(SLn\mathrm{SL}_n は行列式が 11 である n×nn\times n 行列全体がなす群)。

関連する定義

準同型

定義

G,HG,H をリー群とする。写像 ϕ:GH\phi : G \to Hリー群の準同型であるとは,

  1. ϕ\phi は群の準同型
  2. ϕ\phiCC^{\infty} 級写像

を満たすことをいう。

例えば包含写像 SLn(R)GLn(R)\mathrm{SL}_n (\mathbb{R}) \to \mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) はリー群の準同型になります。

部分リー群

定義

GG をリー群とする。HHGG部分リー群であるとは,

  1. HH はリー群
  2. HHGG の部分多様体
  3. 包含写像 HGH \to G がリー群の準同型

のすべてを満たすことをいう。

SLn(R)\mathrm{SL}_n (\mathbb{R})GLn(R)\mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) の部分リー群になります。

性質

性質
  1. リー群の閉部分群はリー群である。(位相は双対位相とする)
  2. リー群の直積はリー群である。(位相は直積位相とする)これを直積リー群という。
  3. リー群をその閉正規部分群で剰余したものはリー群である。これを商リー群という。

線型リー群

リー群論においては次に紹介する線型リー群というクラスが扱いやすく重要です。

定理

kkR\mathbb{R}C\mathbb{C} とする。GLn(k)\mathrm{GL}_n (k) の閉部分群を体 kk 上の線型リー群という。

線型リー群はもちろんリー群になります。(GLn(C)\mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) はリー群で,その閉部分群はもちろんリー群です。)

GLn(k)\mathrm{GL}_n (k) の位相構造

GLn(k)\mathrm{GL}_n (k)n×nn \times n 行列全体の集合の部分集合です。

n×nn \times n 行列全体の集合は自然に kn2k^{n^2} と見なせます。ここには自然な相構造が入ります。

GLn(k)\mathrm{GL}_n (k) の位相構造を kn2k^{n^2} からの相対位相とします。つまり,開集合系を {OGLn(k)O は kn2 の開集合} \{ O \cap \mathrm{GL}_n (k) \mid O \ \text{は} \ k^{n^2} \ \text{の開集合} \} と定めます。

開集合・閉集合の例

完全に初学である人に向けて簡単な例を紹介します。

行列式が 00 ではない対角行列全体の集合 TTGLn(k)\mathrm{GL}_n (k) の閉部分集合です。

n×nn \times n の対角行列全体の集合は knk^n と見なせます。これは kn2k^{n^2} の閉部分集合 kn×{0}n2nk^{n} \times \{ 0 \}^{n^2-n} と見なされるため,TTGLn(k)\mathrm{GL}_n (k) の閉部分集合です。

対角成分が 11 で左下の成分が 00 である行列全体の集合はGLn(k)\mathrm{GL}_n (k) の閉部分集合です。

例えば 2×22 \times 2 で考えると {(1t01)tk} \left\{ \left. \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right| t \in k \right\} となります。これは k4k^4 の閉部分集合 k×{1}×{1}×{0}k \times \{ 1 \} \times \{ 1 \} \times \{ 0 \}GL2(k)\mathrm{GL}_2 (k) の共通部分なので,GL2(k)\mathrm{GL}_2 (k) の閉部分集合といえます。

いくつかの性質

上で紹介したリー群の性質はそのまま線型リー群でも成り立ちます。

また閉集合の共通部分は閉集合であり,部分群の共通部分は部分群であるため,次が成立します。

性質

2つの線型リー群の共通部分は線型リー群である。

様々な線形リー群

R\mathbb{R}C\mathbb{C}

R\mathbb{R}C\mathbb{C} は線型リー群になります。

実際,RGL2(R)\mathbb{R} \to \mathrm{GL}_{2} (\mathbb{R})t(et00et)t \mapsto \begin{pmatrix} e^t &0 \\0 & e^{-t} \end{pmatrix} により R\mathbb{R}GL2(R)\mathrm{GL}_2 (\mathbb{R}) の閉部分群と見なせます。

特殊線型群

特殊線型群 SLn(k)={AGLn(k)detA=1} \mathrm{SL}_n (k) = \{ A \in \mathrm{GL}_n (k) \mid \det A = 1 \} は線型リー群です。

証明

det\det は連続関数であるため,閉集合の逆像は閉集合である。距離空間~位相空間論に向けた開集合・閉集合の一般化

よって,det1(1)\det^{-1} (1) は閉集合である。(実数1点はもちろん閉集合)

直交群

直交行列の集合 {XGLn(R)XtX=In} \{ X \in \mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) \mid X^{t} X = I_n \} は群を成します。これを 直交群 O(n)O(n) といいます。

直交群は線型リー群になります。

証明
  • 群を成すこと

(AB)t(AB)=ABtBtA=In(AB) {}^t (AB) = AB {}^t B {}^t A = I_n より ABO(n)AB \in O(n) となる。InI_n が単位元であることは明らかである。また,行列の積は結合律を満たす。こうして群を成すことが分かる。

  • 閉集合を成すこと

AAtAA \mapsto A{}^tA によって f:GLn(R)Symn(R)f : \mathrm{GL}_n (\mathbb{R}) \to \mathrm{Sym}_n (\mathbb{R}) を定義すると,O(n)=f1(In)O(n) = f^{-1} (I_n) である。

{In}\{ I_n \} は閉集合であるため,O(n)O(n) もまた閉集合を成す。

直交群と特殊線型群の共通部分 SO(n)=O(n)SLn(R) SO (n) = O(n) \cap \mathrm{SL}_n (\mathbb{R}) 特殊直交群といいます。これはリー群とリー群の共通部分であるため,もちろんリー群です。

ユニタリ群

ユニタリ行列の集合 {XGLn(C)XX=In} \{ X \in \mathrm{GL}_n (\mathbb{C}) \mid X^{\ast} X = I_n \} はリー群となります。これを ユニタリ群 U(n)U(n) といいます。

ユニタリ群と特殊線型群の共通部分 SU(n)=U(n)SLn(C) SU(n) = U(n) \cap \mathrm{SL}_n (\mathbb{C}) 特殊ユニタリ群といいます。

トーラスとボレル部分群

  • GLn(k)\mathrm{GL}_n (k) の元で対角行列の集合 TT
  • GLn(k)\mathrm{GL}_n (k) の元で上三角行列の集合 BB

はどちらも GLn(k)\mathrm{GL}_n (k) の閉部分集合になります。(TT は例で紹介,BBTT と同じように議論すればOKです。)

これらはどちらも部分群にもなるため,線型リー群となります。

TTGLn(k)\mathrm{GL}_n (k) のトーラス,BBGLn(k)\mathrm{GL}_n (k) のボレル部分群といいます。表現論において非常に重要な役割を果たします。

ハイゼンベルク群

GL3(k)\mathrm{GL}_3 (k) の部分集合 {(1ab01c001)a,b,ck} \left\{ \left. \begin{pmatrix} 1 & a & b\\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right| a,b,c \in k \right\} は線型リー群になります。(閉部分集合であることは例参照,部分群であることは簡単に計算できます。)

これをハイゼンベルク群といいます。

次回はリー環を紹介します。