【解答・解説】東大文系数学2021

原点を中心とする半径 $1$ の円を $D$ とする。 $$D: x^2 + y^2 = 1$$ である。$C: y = ax^3 -2x$ は奇関数であり，原点に対称であるから，$x > 0$ の範囲で3つの共有点を持つような条件を考えれば良い。$C$ の式を $D$ に代入して， $$x^2 + (ax^3 -2x)^2 = 1\\ \therefore a^2 x^6 - 4ax^4 + 5x^2 - 1 = 0$$ $X = x^2$ で置き換えて， $$a^2 X^3 - 4aX^2 + 5X - 1 = 0$$ ここで， $$f(X) = a^2 X^3 - 4aX^2 + 5X - 1$$ とおく。今は $x > 0$ を考えているので，1つの $X$ に対し，1つの $x ~(> 0)$ が対応する。$0 < x \leq 1$ であるから，$0 < X \leq 1$。よって，$f(X) = 0,~~0 < X \leq 1$ が3つの解を持つような条件を求めればよい。$f(X)$ を微分して， $$\begin{aligned} f'(X) &= 3a^2 X^2 -8aX + 5\\ &= a^2 \left(X-\dfrac{1}{a}\right)\left(3X-\dfrac{5}{a}\right) \end{aligned}$$ これより，増減表は以下の通り。 $$\begin{array}{c|cccccc} X &0 & \cdots & \dfrac{1}{a} & \cdots & \dfrac{5}{3a} & \cdots \\ \hline f’(x)& & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & & \nearrow & \dfrac{2}{a}-1 & \searrow & \dfrac{50}{27a}-1 & \nearrow \end{array}$$ よって，$f(X) = 0,~~0 < X \leq 1$ が3つの解を持つような条件は， $$\begin{cases} \dfrac{50}{27a}-1 < 0 < \dfrac{2}{a}-1\\ \dfrac{5}{3a} < 1 \end{cases}$$ $$\therefore \dfrac{50}{27} < a < 2$$

$1$ が必ず選ばれることに注意すると，条件1を満たすような選び方は $$S = \{1,3,5,7,\cdots, 2N-1\}$$ もしくは $$S = \{1,3,\cdots, 2k-1, 2k+2,2k+4, \cdots, 2N\}$$ のどちらかである。ここで，$k$ とは $1 \leq k \leq N-1$ を満たす整数である。よって， $$1 + (N-1) = N$$ より，$N$ 通りが答えである。

連続する $N-2$ 個の整数の最小値を $n$ とする。

(i) $n = 1$ のとき

残りの $2$ 個を $N-1$ から $2N$，つまり $N+2$ 個の中から自由に選べばよく， $${}_{N+2}\mathrm{C}_2 = \dfrac{(N+2)(N+1)}{2}$$ 通りである。

(ii) $n = 2$ のとき

$1$ を必ず選ばなければならないことから，最小値は $1$ となってしまい矛盾。よって不適である。

(iii) $n = k ~~ (3 \leq k \leq N+3)$ のとき

$1$ は必ず選ばれる。残りの $1$ 個は，$1$ と $n-1$ と $N-2$ 個の連続整数を除いた $$2N - 1 -1 - (N-2) = N$$ 個から自由に選べばよく，$k$ の全ての場合を考えれば， $$\sum_{k = 3}^{N+3} N = N(N+1)$$ 通りである。

(i),(ii),(iii) より， $$\dfrac{(N+2)(N+1)}{2} + N(N+1) = \dfrac{3}{2}N^2 + \dfrac{5}{2}N + 1$$ 通りが答えである。